[论文解读] Virtual moduli cycles and Gromov-Witten invariants of algebraic varieties

Jun Li, Gang Tian|ArXiv.org|Feb 9, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文提出了一种系统化方法，用于构造配备有切丛-障碍复形的模空间的虚拟基本周期，并将其应用于光滑射影代数簇上的稳定映射模空间。其核心贡献是通过虚拟周期，以代数方式构造格罗莫夫-威滕不变量，为代数几何中的枚举不变量提供了严格的理论基础。

ABSTRACT

We introduce a method of constructing the virtual cycle of any scheme associated with a tangent-obstruction complex. We apply this method to constructing the virtual moduli cycle of the moduli of stable maps from n-pointed genus g curves to any smooth projective variety. As an application, we give an algebraic definition of GW-invariants for any smooth projective variety.

研究动机与目标

• 开发一种在配备有切丛-障碍复形的模空间上构造虚拟基本周期的一般方法。
• 将此方法应用于从n点标记的亏格g曲线到光滑射影代数簇的稳定映射模空间。
• 提供一种独立于解析方法或轨道空间方法的、基于代数几何与概形理论的格罗莫夫-威滕不变量的代数定义。
• 通过虚拟周期技术，为代数几何中的枚举不变量建立一个严格的理论框架。
• 通过代数几何方法构造虚拟周期，解决格罗莫夫-威滕理论中的基础性问题。

提出的方法

• 利用与切丛-障碍复形相关的完美障碍理论，定义虚拟基本类。
• 通过内在法丛的法丛锥及其虚拟基本类，在稳定映射的模空间中构造虚拟周期。
• 利用稳定映射的形变-障碍理论，定义一个幅度为[−1, 0]的完美障碍理论。
• 应用虚拟卡瓦斯基-克努森-摩尔-佩戈拉罗（KMP）构造，在查沃群中生成虚拟周期。
• 利用虚拟周期将格罗莫夫-威滕不变量定义为模空间上psi类与评估类的交数。
• 确保该构造为代数构造，并与正规推出和基变换相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为配备有切丛-障碍复形的模空间构造虚拟基本类？
• RQ2 能否为光滑射影代数簇上的稳定映射模空间代数地构造虚拟周期？
• RQ3 使用虚拟周期时，格罗莫夫-威滕不变量的精确代数定义是什么？
• RQ4 虚拟周期构造与有理曲线经典枚举几何之间有何关系？
• RQ5 能否在不使用解析或轨道空间方法的前提下定义虚拟基本类？

主要发现

• 作者利用完美障碍理论，为稳定映射模空间构造了虚拟基本类。
• 虚拟周期被定义为模空间查沃群中的一个周期，从而支持交集论不变量。
• 格罗莫夫-威滕不变量被代数地定义为psi类与评估类相对于虚拟周期的交数。
• 该构造在形变下保持不变，并与基变换相容，确保了理论的一致性。
• 该方法为格罗莫夫-威滕理论提供了严格的代数基础，解决了早期依赖解析与轨道空间方法的问题。
• 虚拟周期构造适用于任意光滑射影代数簇，推广了枚举几何中先前的结果。