[论文解读] Virtual persistence diagrams, signed measures, and Wasserstein distance

Peter Bubenik, Alex Elchesen|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2020

Topological and Geometric Data Analysis被引用 5

一句话总结

本文在任意度量空间上引入了相容的Wasserstein距离，适用于持久图和Radon测度，将1-Wasserstein距离扩展至虚拟持久图和符号测度。它刻画了在Wasserstein度量下持久图的柯西完备化，推广了最优传输与拓扑数据分析的框架。

ABSTRACT

Persistence diagrams, an important summary in topological data analysis, consist of a set of ordered pairs, each with positive multiplicity. Persistence diagrams are obtained via Mobius inversion and may be compared using a one-parameter family of metrics called Wasserstein distances. In certain cases, Mobius inversion produces sets of ordered pairs which may have negative multiplicity. We call these virtual persistence diagrams. Divol and Lacombe recently showed that there is a Wasserstein distance for Radon measures on the half plane of ordered pairs that generalizes both the Wasserstein distance for persistence diagrams and the classical Wasserstein distance from optimal transport theory. Following this work, we define compatible Wasserstein distances for persistence diagrams and Radon measures on arbitrary metric spaces. Furthermore, we show that the 1-Wasserstein distance extends to virtual persistence diagrams and to signed measures. In addition, we characterize the Cauchy completion of persistence diagrams on metric spaces with respect to the Wasserstein distances.

研究动机与目标

• 将Wasserstein距离从持久图推广至任意度量空间上的Radon测度。
• 将1-Wasserstein距离扩展至可能包含负重数的虚拟持久图。
• 刻画在Wasserstein度量下持久图空间的柯西完备化。
• 通过统一的度量框架，将拓扑数据分析与最优传输理论相结合。

提出的方法

• 利用最优传输原理，在任意度量空间上的持久图和Radon测度之间定义相容的Wasserstein距离。
• 借助半平面上Radon测度的理论，将Wasserstein距离推广至标准持久图之外的范围。
• 通过最优传输对偶公式的适应，将1-Wasserstein距离扩展至符号测度和虚拟持久图。
• 利用测度与连续函数之间的对偶性，建立收敛性与完备性性质。
• 应用Radon测度理论，刻画在Wasserstein度量下持久图空间的柯西完备化。
• 通过对偶性和度量延拓，将经典的Wasserstein距离从最优传输推广至包含符号测度和虚拟测度的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在任意度量空间上的持久图和Radon测度之间一致地定义Wasserstein距离？
• RQ2 1-Wasserstein距离如何扩展至包含负重数的虚拟持久图？
• RQ3 在1-Wasserstein度量下，持久图空间的柯西完备化是什么？
• RQ4 所提出的框架如何统一拓扑数据分析与最优传输理论？
• RQ5 配备1-Wasserstein距离的符号测度空间具有哪些结构性和拓扑性质？

主要发现

• 1-Wasserstein距离被扩展至虚拟持久图和符号测度，使得超越标准持久图的度量比较成为可能。
• 为任意度量空间上的持久图和Radon测度定义了相容的Wasserstein距离，推广了现有框架。
• 在1-Wasserstein度量下，持久图空间的柯西完备化通过半平面上的Radon测度空间得以刻画。
• 该框架通过将两者嵌入共同的度量结构中，统一了拓扑数据分析与最优传输。
• 该扩展保持了对偶性和完备性性质，确保了理论与应用中的鲁棒性。