[论文解读] Virtually cocompactly cubulated Artin-Tits groups

Thomas Haettel|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文提出了一个关于Artin-Tits群是否为虚拟共紧致立方化的猜想分类——即是否存在一个有限指数子群作用在CAT(0)立方复形上几何地——并证明了该猜想对球面型、FC型及二维Artin-Tits群成立。关键结果表明，当 $ n \geq 4 $ 时，$ n $-strand braid群不是虚拟共紧致立方化的，通过Coxeter矩阵上的局部障碍条件解决了braid群长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We give a conjectural classification of virtually cocompactly cubulated Artin-Tits groups (i.e. having a finite index subgroup acting geometrically on a CAT(0) cube complex), which we prove for all Artin-Tits groups of spherical type, FC type or two-dimensional type. A particular case is that for $n \geq 4$, the $n$-strand braid group is not virtually cocompactly cubulated.

研究动机与目标

• 对哪些Artin-Tits群具有有限指数子群几何作用在CAT(0)立方复形上进行分类，扩展已知的CAT(0)立方复形作用结果。
• 解决球面型、FC型及二维型Artin-Tits群的猜想。
• 基于局部组合障碍，建立Artin-Tits群可立方化的必要与充分条件。
• 通过结构与群论论证，证明当 $ n \geq 4 $ 时，$ n $-strand braid群 $ B_n $ 不是虚拟共紧致立方化的。

提出的方法

• 基于Coxeter矩阵 $ M = (m_{ab}) $ 的两个条件（控制生成元之间奇数和偶数非2关系），提出一个猜想分类（猜想A）。
• 提出一个重述形式（猜想B），识别出在秩3和秩4抛物子群中阻止立方化的局部障碍。
• 证明：若Artin-Tits群满足性质 $(\dagger)$——即对所有 $ s \in S $ 和 $ n \geq 1 $，有 $ Z_{A(M)}(s^n) = Z_{A(M)}(s) $——则猜想A中的两个条件对虚拟立方化是必要的（定理D）。
• 通过从抛物子群构造非正曲率立方复形，证明猜想A中的两个条件对立方化是充分的（定理C）。
• 对FC型群使用Deligne复形上的立方度量，对低秩球面子群使用Moussong度量，以验证性质 $(\dagger)$，从而在这些情形下确认猜想。
• 利用计数同态 $ B_n \to \mathbb{Z} $ 和在 $ \mathbb{R} $ 上的适当作用，将 $ B_n/Z(B_n) $ 的有限指数立方化作用提升至 $ B_n $，从而证明当 $ n \geq 4 $ 时不可立方化。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些Artin-Tits群具有有限指数子群几何作用在CAT(0)立方复形上？
• RQ2 Artin-Tits群虚拟共紧致立方化的Coxeter矩阵应满足何种必要与充分条件？
• RQ3 为何当 $ n \geq 4 $ 时，$ n $-strand braid群 $ B_n $ 不是虚拟共紧致立方化的？
• RQ4 性质 $(\dagger)$——即对所有 $ s \in S $ 和 $ n \geq 1 $，有 $ Z_{A(M)}(s^n) = Z_{A(M)}(s) $——是否对所有Artin-Tits群成立？它是否蕴含猜想中的立方化条件？
• RQ5 秩3和秩4抛物子群中的局部障碍模式是否能完全刻画Artin-Tits群立方化失败的原因？

主要发现

• 当 $ n \geq 4 $ 时，$ n $-strand braid群 $ B_n $ 不是虚拟共紧致立方化的，这是通过猜想A中两个条件的失效以及从中心商群提升作用所证明的。
• 猜想A对所有球面型Artin-Tits群、FC型群以及不可约球面抛物子群秩不超过2的群成立，这是因为在这些情形下已验证了性质 $(\dagger)$。
• 在性质 $(\dagger)$ 成立的假设下，猜想A中的两个条件对立方化而言既是必要也是充分的，而FC型群中该性质已通过Deligne复形上的立方度量得到验证。
• 本文证明了标准抛物子群在秩3和4时决定了Artin-Tits群是否为虚拟共紧致立方化，这通过猜想B中的三种局部障碍模式实现。
• 通过将具有交换关系的抛物子群的自由积构造出非正曲率立方复形，得到一个共紧致作用，从而证明了定理C。
• 当 $ n \geq 4 $ 时，中心商群 $ B_n/Z(B_n) $ 不是虚拟共紧致立方化的，因为若其具有此类作用，则 $ B_n $ 也会有，这与定理D矛盾。