[论文解读] Virtually splitting the map from Aut(G) to Out(G)

Mathieu Carette|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2013

Geometric and Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文建立了一个充分条件——存在具有有限中心化子的 AS（几乎稳定子）子群——使得自然映射 Aut(G) → Out(G) 虚拟分裂，该条件被应用于拟有限的 CAT(0) 群和双曲群。关键结果是：对于有限生成的考克斯eter群，该映射虚拟分裂，这意味着 Out(G) 是拟有限的且拟无挠的。

ABSTRACT

We give an elementary criterion on a group G for the map from Aut(G) to Out(G) to split virtually. This criterion applies to many residually finite CAT(0) groups and hyperbolic groups, and in particular to all finitely generated Coxeter groups. As a consequence the outer automorphism group of any finitely generated Coxeter group is residually finite and virtually torsion-free.

研究动机与目标

• 确定有限生成拟有限群 G 的自然映射 Aut(G) → Out(G) 虚拟分裂的条件。
• 建立当映射 Aut(G) → Out(G) 虚拟分裂时，外自同构群 Out(G) 是拟有限的。
• 将该准则应用于特定群类，特别是有限生成的考克斯eter群和含扭的 CAT(0) 群。
• 证明任意有限生成考克斯eter群的外自同构群是拟有限且拟无挠的。
• 提供基于群在 CAT(0) 空间上作用且固定点集有界的几何准则，以实现虚拟分裂。

提出的方法

• 引入 G 中 AS（几乎稳定子）子群 H 的概念，其中 H 有限且中心化子有限，且 H 在 CAT(0) 空间中的固定点集有界。
• 利用此类 AS 子群 H 的存在性，从 Out(G) 的有限指数子群构造一个回到 Aut(G) 的虚拟截面，确保映射虚拟分裂。
• 应用 Malcev 定理于单 relator 且含扭的群，证明其为拟有限并满足 AS 准则。
• 利用 Bass-Serre 理论和双曲群的 JSJ 分解，通过 JSJ 树作用中的顶点稳定子识别 AS 子群。
• 利用有限生成考克斯eter群在 ℤ 上线性化（通过 Wise 的工作）以保证拟有限性，并应用主准则。
• 证明考克斯eter群中的极大有限子群可作为有效的 AS 子群，从而实现 Aut(G) → Out(G) 的虚拟分裂。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有限生成拟有限群 G，映射 Aut(G) → Out(G) 在何种条件下虚拟分裂？
• RQ2 当映射 Aut(G) → Out(G) 虚拟分裂时，是否可证明外自同构群 Out(G) 是拟有限的？
• RQ3 有限生成考克斯eter群是否满足 AS 子群准则，且这是否意味着自同构映射的虚拟分裂？
• RQ4 对于含扭的双曲群和 CAT(0) 群，有限子群的固定点集是否具有几何条件可确保虚拟分裂？
• RQ5 单 relator 且含扭的群的外自同构群是否为拟有限的，且其自同构映射是否允许虚拟分裂？

主要发现

• 若 G 具有有限子群 H，其中心化子有限且有限子群的共轭类有限，则映射 Aut(G) → Out(G) 虚拟分裂。
• 对任意有限生成考克斯eter群 G，映射 Aut(G) → Out(G) 虚拟分裂，因此 Out(G) 是拟有限的。
• Out(G) 不仅是拟有限的，而且对任意有限生成考克斯eter群 G 来说也是拟无挠的。
• 当 G 为有限生成考克斯eter群时，Out(G) 对除有限多个素数 p 外均为拟 p 有限。
• 该准则适用于所有拟有限 CAT(0) 群，只要其存在有限子群 H，且 H 在 CAT(0) 空间中的固定点集有界。
• 单 relator 且含扭的群满足 AS 准则，因此其 Aut(G) → Out(G) 具有虚拟分裂，这意味着 Out(G) 是拟有限的。