[论文解读] Viscoelastic scaling regimes for marginally-rigid fractal spring networks

David Head|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2022

Advanced Materials and Mechanics参考文献 50被引用 6

一句话总结

本研究基于谢尔宾斯基三角形构建的边缘刚性分形弹簧网络，采用基于矩阵的求解器计算复模量谱 G∗(ω)，探究了粘弹性标度行为。识别出两个不同的标度区域：低频区 ∆ ≈ 1/2，源于边缘刚性；中频区 ∆′ = (ln 3 − ln 2)/(ln 3 + ln 2) ≈ 0.241，与分形谱维数一致，交叉频率随系统尺寸变化，表明存在扩散型松弛时间展宽。

ABSTRACT

A family of marginally-rigid (isostatic) spring networks with fractal structure up to a controllable length was devised and the viscoelastic spectra $G^{*}(\omega)$ calculated. Two non-trivial scaling regimes were observed, (i)~$G^{\prime}\approx G^{\prime\prime}\propto\omega^{\Delta}$ at low frequencies, consistent with $\Delta=1/2$; (ii)~$G^{\prime}\propto G^{\prime\prime}\propto\omega^{\Delta^{\prime}}$ for intermediate frequencies corresponding to fractal structure, consistent with a theoretical prediction $\Delta^{\prime}=(\ln3-\ln2)/(\ln3+\ln2)$. The cross-over between these two regimes occurred at lower frequencies for larger fractals in a manner suggesting diffusive-like dispersion. Solid gels generated by introducing internal stresses exhibited similar behaviour above a low-frequency cut-off, indicating the relevance of these findings to real-world applications.

研究动机与目标

• 理解软材料中广泛存在的幂律粘弹性标度的起源，特别是当拓扑变化缺失时。
• 通过构建同时具备分形结构和边缘刚性特征的模型体系，分离二者对幂律流变行为的贡献。
• 确定分形几何本身是否足以产生非平凡的标度指数 ∆ < 1/2，如真实软材料中所观察到的。
• 探讨系统尺寸和结构长度尺度在调控不同粘弹性标度区域之间转换中的作用。

提出的方法

• 基于谢尔宾斯基三角形构建无热、静定的弹簧网络，配位数 z = 4，确保在刚性转变点处实现边缘刚性。
• 通过三角形单元的递归细分，工程化实现可控长度尺度的分形结构，保持最小三角形的自相似性。
• 采用基于矩阵的迭代求解器，在宽频带 ω 范围内计算复模量 G∗(ω) = G′(ω) + iG′′(ω)。
• 应用包含来自仿射流体流动的阻尼力和胡克弹簧弹性力的受力平衡方程，海森矩阵编码弹簧刚度和方向性。
• 通过随机高斯扰动自然弹簧长度引入内部应力，并使用 FIRE 算法求解静态平衡状态。
• 分析 G′(ω) 和 G′′(ω) 在不同频率区域的标度行为，识别幂律指数 ∆ 和 ∆′。

实验结果

研究问题

• RQ1 分形结构本身是否足以产生 ∆ < 1/2 的粘弹性标度，且独立于拓扑弛豫或链段动力学？
• RQ2 在边缘刚性网络中观察到的低频区 ∆ ≈ 1/2 标度行为的起源是什么？
• RQ3 低频与中频标度区域之间的交叉频率如何依赖于最大分形长度尺度？
• RQ4 固体凝胶中的内部应力在多大程度上能模拟无热分形网络的粘弹性响应？

主要发现

• 观察到两个不同的粘弹性标度区域：低频区 G′ ≈ G′′ ∝ ω^(1/2)，与边缘刚性一致，且与分形结构无关。
• 中频区表现出 G′ ∝ G′′ ∝ ω^∆′，其中 ∆′ = (ln 3 − ln 2)/(ln 3 + ln 2) ≈ 0.241，与谢尔宾斯基三角形谱维数的理论预测一致。
• 两个区域之间的交叉频率随最大分形长度的增加而降低，表明松弛时间具有类似扩散的展宽行为。
• 具有内部应力的固体凝胶在低频截止以上表现出相似的标度行为，表明其与真实软材料的相关性。
• 低频区 ∆ ≈ 1/2 的标度行为归因于边缘刚性，而非热运动的 Rouse 模式或键解离，因此代表一种独立的物理机制。
• 中频区标度 ∆′ ≈ 0.241 稳健地与分形几何和谱维数相关，而非热效应或拓扑效应。