[论文解读] Viscosity Solution for Optimal Stopping Problems of Feller Processes

Suhang Dai, Olivier Menoukeu Pamen|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 4

一句话总结

本论文证明了在一般Feller过程驱动的最优停止问题中，Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的粘性解的存在性与唯一性，且未对生成元施加特定形式的假设。通过利用Feller半群的性质与罚方法，证明了值函数是唯一的粘性解，解决了先前工作中提出的猜想，并将理论适用范围扩展至扩散过程（如具有分段系数的扩散过程）与半马氏过程等。

ABSTRACT

We study an optimal stopping problem when the state process is governed by a general Feller process. In particular, we examine viscosity properties of the associated value function with no a priori assumption on the stochastic differential equation satisfied by the state process. Our approach relies on properties of the Feller semigroup. We present conditions on the state process under which the value function is the unique viscosity solution to an Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation associated with a particular operator. More specifically, assuming that the state process is a Feller process, we prove uniqueness of the viscosity solution which was conjectured in [26]. We then apply our results to study viscosity property of optimal stopping problems for some particular Feller processes, namely diffusion processes with piecewise coefficients and semi-Markov processes. Finally, we obtain explicit value functions for optimal stopping of straddle options, when the state process is a reflected Brownian motion, Brownian motion with jump at boundary and regime switching Feller diffusion, respectively (see Section 8).

研究动机与目标

• 建立当基础过程为一般Feller过程时，最优停止问题的粘性解的存在性与唯一性。
• 解决文献[26]中关于Feller半群背景下粘性解唯一性的猜想。
• 提供一个适用于生成元并非显式为微分算子的一类广泛马氏过程的通用分析框架。
• 将粘性解理论扩展至如具有分段系数的扩散过程与半马氏过程等在最优停止文献中研究较少的过程。
• 在特定Feller扩散过程（如反射布朗运动与 regime-switching 扩散过程）下，推导出互锁期权的显式值函数。

提出的方法

• 利用罚方法通过光滑函数逼近值函数，避免直接依赖微分算子。
• 利用Feller半群结构，在单点紧化空间上定义扩展过程的无穷小生成元。
• 应用扰动理论，将一维半马氏过程转化为二维马氏过程以进行分析。
• 通过证明生成元的核性质与定义域等价性，确立值函数是HJB方程的唯一粘性解。
• 利用在 $\mathcal{C}(\mathsf{E}_\partial)$ 上通过半群作用极限定义的扩展生成元 $\tilde{\mathcal{L}}$，刻画HJB算子。
• 依赖 $D(\tilde{\mathcal{G}})$ 在 $D(\tilde{\mathcal{L}})$ 中的核性质，以确保粘性解的收敛性与适定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Feller过程最优停止问题的值函数是其关联HJB方程的唯一粘性解？
• RQ2 当缺乏微分生成元时，能否仅基于半群性质建立粘性解的唯一性？
• RQ3 罚方法如何被调整以确保在一般Feller过程中逼近值函数的收敛性？
• RQ4 具有分段系数的扩散过程与半马氏过程的最优停止问题具有何种粘性性质？
• RQ5 能否在特定Feller扩散过程（如反射布朗运动或 regime-switching 扩散过程）下，为互锁期权推导出显式值函数？

主要发现

• 值函数是Feller过程最优停止问题中HJB方程的唯一粘性解，解决了文献[26]中的猜想。
• 扩展过程的无穷小生成元 $\tilde{\mathcal{L}}$ 满足 $D(\tilde{\mathcal{L}}) = \{ w \in \mathcal{C}(\mathsf{E}_\partial) \mid (w - w(\partial))|_\mathsf{E} \in D(\mathcal{L}) \}$，确立了定义域等价性。
• $\tilde{\mathcal{L}}$ 在 $D(\tilde{\mathcal{G}})$ 上的限制是良定义的，并构成 $\tilde{\mathcal{L}}$ 的核，确保了逼近的收敛性。
• 对于具有分段系数的扩散过程，值函数是特定算子下HJB方程的粘性解，如推论7.9与7.10所示。
• 对于半马氏过程，通过扰动理论将过程转化为二维马氏过程后，值函数是唯一的粘性解。
• 在第8节中，推导出在反射布朗运动、带边界跳跃的布朗运动以及regime-switching Feller扩散过程下，互锁期权的显式值函数。