[论文解读] Viscosity Solutions of Systems of Variational Inequalities with Interconnected Bilateral Obstacles

Boualem Djehiche, Said Hamad egrave ne+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用 11

一句话总结

本文建立了在具有相互关联双侧障碍的二阶变分不等式系统中，连续粘性解存在且唯一的结论，且解具有多项式增长特性，该系统用于建模带有状态依赖切换成本的双人切换博弈。通过惩罚型倒向随机微分方程（BSDEs）与概率方法，作者利用Perron方法构造次解与超解，并通过一种新颖的比较原理证明唯一性，从而解决了随机控制领域中长期存在的关于相互依赖障碍的问题。

ABSTRACT

We study a general class of nonlinear second-order variational inequalities with interconnected bilateral obstacles, related to a multiple modes switching game. Under rather weak assumptions, using systems of penalized unilateral backward SDEs, we construct a continuous viscosity solution of polynomial growth. Moreover, we establish a comparison result which in turn yields uniqueness of the solution.

研究动机与目标

• 建立在双人切换博弈中产生的具有相互关联双侧障碍的变分不等式系统中，连续粘性解存在且唯一的结论。
• 解决文献中标准存在性与唯一性结果难以适用的难点，即状态依赖切换成本的影响。
• 利用惩罚型反射BSDE构建概率框架，将随机表示与PDE系统相联系。
• 克服在解依赖障碍的BSDE中缺乏标准条件（如Mokobodski条件或障碍严格分离）的局限性。
• 将先前在有界区域上关于椭圆系统的结论，推广至全空间ℝᵏ，并允许多项式增长解。

提出的方法

• 构造两种逼近方案——递增与递减——通过与标准切换问题相关的惩罚型反射BSDE序列实现。
• 利用Feynman-Kac公式将惩罚型BSDE的解与惩罚型PDE的解联系起来，从而实现粘性次解与超解的构造。
• 为粘性次解与超解建立比较原理，确保在连续函数且具有多项式增长的类中解的唯一性。
• 应用Perron方法，将所有被超解上界控制的次解的逐点上确界构造为粘性解。
• 识别递减惩罚方案的极限为唯一粘性解，利用唯一性结果加以支持。
• 改编后向SDE与粘性理论的技术，以处理障碍依赖于解本身的情况，这是该框架中的关键创新点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全状态空间ℝᵏ中，对于具有相互关联双侧障碍的变分不等式系统，能否构造出具有多项式增长的连续粘性解？
• RQ2 当障碍依赖于解且标准条件（如Mokobodski条件）不成立时，此类系统是否仍满足比较原理？
• RQ3 当相关反射BSDE系统缺乏标准存在性/唯一性条件时，能否通过惩罚方案获得解？
• RQ4 在系数与切换成本的弱假设下，解在连续函数且具有多项式增长的类中是否唯一？
• RQ5 当障碍相互关联且依赖于解时，Perron方法能否被适配以构造解？

主要发现

• 在系数与切换成本满足弱假设的条件下，该变分不等式系统在全空间ℝᵏ上存在唯一的连续粘性解，且解具有多项式增长特性。
• 为该系统建立了比较原理，确保在连续函数且具有多项式增长的类中粘性解的唯一性。
• 通过使用反射BSDE的惩罚方案构造了解，且该方案的递减极限被识别为唯一粘性解。
• 该方法成功绕过了对标准条件（如Mokobodski条件或障碍严格分离）的需求，这些条件因解依赖障碍而无法满足。
• 解在惩罚过程中保持稳定，且极限被证明是连续的且具有多项式增长。
• 识别出解的下包络的对偶变分不等式系统，其唯一解同样是连续的且具有多项式增长。