[论文解读] Viscosity Solutions to First Order Path-Dependent HJB Equations

Jianjun Zhou|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2020

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文提出了一套针对随机微分方程（SDE）路径相关最优控制问题中出现的一阶路径依赖哈密顿-雅可比-贝尔曼（PHJB）方程的粘性解框架。在系数满足利普希茨连续性假设下，证明了最优控制问题的值泛函是PHJB方程的唯一粘性解，并展示了该解与经典解的一致性，以及在路径空间扰动下的稳定性。

ABSTRACT

In this article, a notion of viscosity solutions is introduced for first order path-dependent Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations associated with optimal control problems for path-dependent differential equations. We identify the value functional of the optimal control problems as a unique viscosity solution to the associated HJB equations. We also show that our notion of viscosity solutions is consistent with the corresponding notion of classical solutions, and satisfies a stability property.

研究动机与目标

• 为一阶路径依赖哈密顿-雅可比-贝尔曼（PHJB）方程发展一个严格的粘性解概念。
• 将受控路径依赖SDE的值泛函表征为关联PHJB方程的唯一粘性解。
• 在适当的正则性条件下，确保粘性解与经典解之间的一致性。
• 在路径空间拓扑收敛意义下，建立粘性解概念的稳定性。
• 解决无限维路径空间和上确界范数不可微性带来的挑战。

提出的方法

• 在路径空间 Λ 中，使用水平导数与垂直导数（类似Dupire的定义）引入粘性解概念。
• 为PHJB方程定义哈密顿函数 H(γₜ, p) = infᵤ[(p, F(γₜ, u)) + q(γₜ, u)]。
• 在路径空间上对 F、q 和 φ 施加关于上确界范数 ||·||₀ 的利普希茨连续性条件。
• 通过路径序列 (γₜₙⁿ) 的极限论证，证明在 d∞ 度量下收敛，并构造极限路径 γT。
• 在路径空间中应用紧致性与柯西序列论证，以证明极限路径的存在性与正则性。
• 通过比较原理与稳定性，建立值泛函 V(γₜ) 在粘性意义下满足PHJB方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无限维路径空间中为一阶路径依赖HJB方程建立粘性解理论？
• RQ2 受控路径依赖SDE的值泛函是否为关联PHJB方程的唯一粘性解？
• RQ3 在 d∞ 度量下路径收敛时，粘性解概念如何表现？
• RQ4 当经典解存在时，粘性解概念是否仍与之保持一致？
• RQ5 上确界范数的不可微性在导数与解的定义中起到何种作用？

主要发现

• 定义为控制可允许集上代价泛函下确界的值泛函 V(γₜ) 是PHJB方程的唯一粘性解。
• 当经典解存在时，粘性解概念与之保持一致，确保与标准HJB理论的兼容性。
• 值泛函满足稳定性性质：若路径序列在 d∞ 度量下收敛，则对应的值泛函一致收敛。
• 由 d∞ 度量中柯西序列构造的极限路径 γT 是右连续且左极限存在的，确保其属于 càdlàg 路径空间。
• 当 n → ∞ 时，d∞(ηₜ̂, γₜₙⁿ) → 0 的收敛性证实了解在路径收敛下的稳定性。
• 证明依赖于上确界范数与路径空间结构的精细估计，克服了 ||·||₀ 缺乏 Gateaux 可微性的困难。