[论文解读] Viscosity Solutions to Second Order Path-Dependent Hamilton-Jacobi-Bellman Equations and Applications

Jianjun Zhou|arXiv (Cornell University)|May 10, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文提出了一类用于路径依赖型二阶哈密顿-雅可比-贝尔曼（PHJB）方程的粘性解框架，该方程源于路径依赖型随机微分方程的最优控制问题。研究证明，最优控制问题的值泛函是相应PHJB方程的唯一粘性解，且该解与经典解一致并具有稳定性，该理论可推广至倒向随机HJB方程。

ABSTRACT

In this article, a notion of viscosity solutions is introduced for second order path-dependent Hamilton-Jacobi-Bellman (PHJB) equations associated with optimal control problems for path-dependent stochastic differential equations. We identify the value functional of optimal control problems as unique viscosity solution to the associated PHJB equations. We also show that our notion of viscosity solutions is consistent with the corresponding notion of classical solutions, and satisfies a stability property. Applications to backward stochastic Hamilton-Jacobi-Bellman equations are also given.

研究动机与目标

• 为路径依赖型随机微分方程最优控制问题中的二阶路径依赖型哈密顿-雅可比-贝尔曼（PHJB）方程建立粘性解理论。
• 证明最优控制问题的值泛函是相应PHJB方程的唯一粘性解。
• 在适当条件下，证明所提出的粘性解概念与经典解之间的一致性。
• 证明在路径依赖型数据扰动下，粘性解框架具有稳定性。
• 通过所提出的PHJB框架，将理论扩展至倒向随机HJB方程。

提出的方法

• 基于函数型伊藤微积分框架中的水平导数与垂直导数，提出一种专用于二阶路径依赖型HJB方程的新型粘性解定义。
• 将值泛函定义为具有路径依赖系数的倒向随机微分方程（BSDE）解在可允许控制集合上的本质上确界。
• 应用杜普雷的函数型伊藤公式，推导值泛函的动态规划原理。
• 通过构造合适的测试函数并引入时间平移过程的扰动论证，建立粘性解的比较原理。
• 采用停时的局部化技巧与时间正则化过程，处理生成元与状态过程的路径依赖性。
• 基于动态规划原理与函数型伊藤公式，采用随机表示论证方法，验证值泛函满足粘性次解与超解性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二阶路径依赖型哈密顿-雅可比-贝尔曼方程定义一致的粘性解概念？
• RQ2 路径依赖型SDE的最优控制问题的值泛函是否为相应PHJB方程的唯一粘性解？
• RQ3 当经典解存在时，所提出的粘性解概念是否与之重合？
• RQ4 在路径依赖型数据的扰动下，粘性解框架是否具有稳定性？
• RQ5 该理论能否扩展至包含倒向随机HJB方程？

主要发现

• 证明了最优控制问题的值泛函是相应二阶路径依赖型HJB方程的唯一粘性解。
• 当值泛函足够光滑时，所提出的粘性解概念与经典解一致。
• 在$d_∞$度量下，路径依赖型数据收敛时，粘性解框架满足稳定性性质。
• 粘性解框架满足比较原理，从而保证解的唯一性。
• 值泛函在粘性意义下满足动态规划原理，将解与底层随机控制问题联系起来。
• 该理论成功扩展至倒向随机HJB方程，证明了该框架的更广泛应用性。