[论文解读] Viscous compressible homogeneous multi-fluids with multiple velocities: barotropic existence theory

A. E. Mamontov, Д. А. Прокудин|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 3被引用 11

一句话总结

本论文通过引入一种基于共用速度场和仅依赖于总密度的共同压力的改进公式，建立了具有多个速度的黏性可压缩多相流体模型弱解的存在性。关键贡献在于克服了与非对角黏性矩阵相关的数学障碍，实现了在仅满足物理正则性条件（而非对结构性限制）下的全局解存在性结果。

ABSTRACT

We consider the model of viscous compressible homogeneous multi-fluids with multiple velocities. We review different formulations of the model and the existence results for boundary value problems. We analyze crucial mathematical difficulties which arise during the proof of the existence theorems.

研究动机与目标

• 解决黏性可压缩多相流体在具有多个速度和非对角黏性矩阵时证明存在性定理的数学挑战。
• 克服以往全局存在性结果仅适用于三角或对角黏性矩阵的限制，这些矩阵在物理上不够真实。
• 开发一种改进的模型公式，保持物理一致性的同时实现完整的数学可解性理论。
• 将存在性理论扩展至采用共用速度和压力的压强情形，消除对黏性矩阵的结构性约束。
• 为在一维和多维情形下研究定性性质与光滑解奠定基础。

提出的方法

• 引入一种改进的系统，其中所有组分共享一个共用速度场 $\boldsymbol{v}$ 和一个仅依赖于总密度 $\rho = \sum \rho_i$ 的共用压力 $p$。
• 在连续性方程中，将各个物质导数算子 $\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \boldsymbol{u}_i \cdot \nabla$ 替换为单一的共用速度 $\boldsymbol{v}$。
• 使用包含共用压力和通过对称矩阵 $\textbf{M} = \{\mu_{ij}\} > 0$ 与 $\textbf{H} = \boldsymbol{\Lambda} + \frac{2}{3}\textbf{M} \geq 0$ 定义的广义黏性应力张量的改进动量方程。
• 应用基于有效黏性通量估计和混合积分析的紧致性论证，以处理近似解的收敛性。
• 利用对易子恒等式和涉及 $\nabla\Delta^{-1}$ 算子的 $L^p$-型估计，控制动量方程中如 $\rho_i \boldsymbol{u}_j$ 的非线性项。
• 将纳维-斯托克斯理论中的技术，特别是有效黏性通量方法，适配至具有共用速度和压力的多相流情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般非对角黏性矩阵条件下，能否为具有多个速度的黏性可压缩多相流体建立弱解的存在性？
• RQ2 如何对模型进行重新表述，以在保持物理一致性的同时消除对黏性矩阵的结构性限制？
• RQ3 需要哪些数学技术来处理混合积 $\rho_i \boldsymbol{u}_j$ 和动量方程中高阶项的相互渗透？
• RQ4 能否将有效黏性通量方法适配至具有共用速度和压力的多相流设置？
• RQ5 一维多相流的可解性理论能在多大程度上发展到与单相流的最先进水平相当？

主要发现

• 本论文在采用共用速度和压力的改进公式下，建立了黏性可压缩多相流体在压强情形下弱解的存在性。
• 数学框架克服了非对角黏性矩阵这一关键障碍，此前该障碍仅允许在三角或对角情形下实现全局存在性。
• 改进的模型允许采用物理解释合理的对称黏性矩阵，同时保持可解性理论，消除了先前的结构性限制。
• 紧致性论证依赖于对易子项和有效黏性通量的精细估计，通过 $\nabla\Delta^{-1}$ 算子的 $L^p$-型范数建立收敛性。
• 分析表明，尽管一维情形更简单，但黏性矩阵的非对角结构仍带来独特的挑战，与高维情形类似。
• 结果为将理论扩展至光滑解以及在一维和多维情形下研究定性性质奠定了基础。