[论文解读] Visibility graphs and deformations of associahedra

Satyan L. Devadoss, Rahul Shah+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文针对任意简单多边形 P 引入了一个多面复形 𝒦_P，其面偏序集对应于 P 的凸对角化，从而将经典的单形体推广至非凸多边形。通过 P 的可视图，作者定义了一个变形偏序集 𝒟，以捕捉多边形变形过程中可视性的单调变化。证明了星形多边形可经由可视性单调增加的方式变形至凸位置，并提出了一个开放性问题：是否所有多边形均可通过增加可视性的顶点移动实现单调变形至凸性。

ABSTRACT

The associahedron is a convex polytope whose face poset is based on nonintersecting diagonals of a convex polygon. In this paper, given an arbitrary simple polygon P, we construct a polytopal complex analogous to the associahedron based on convex diagonalizations of P. We describe topological properties of this complex and provide realizations based on secondary polytopes. Moreover, using the visibility graph of P, a deformation space of polygons is created which encapsulates substructures of the associahedron.

研究动机与目标

• 将经典的单形体构造从凸多边形推广至任意简单多边形，基于凸对角化。
• 基于可视图定义一个变形偏序集 𝒟，以捕捉多边形变形的组合结构。
• 研究是否每个简单多边形均可通过每一步增加可视性的顶点移动，单调变形至凸位置。
• 证明星形多边形可实现可视性单调增加的变形至凸性，为变形问题提供部分解法。
• 提出开放问题：变形偏序集中的所有极大链长度是否为 binom(n,2) - 2n + 4，对应于最大可视性增加。

提出的方法

• 通过保持标签的单射映射，将 P 的凸对角化映射至凸 n 边形的凸对角化，构造 𝒦_P 作为经典单形体 𝒦_n 的子复形。
• 将多边形 P 的可视图定义为：若两顶点相互可视则连边，并以此定义按可视性排序的多边形变形偏序集 𝒟。
• 使用连续线性变形映射 f: P × [0,1] → P，将顶点向内核点 x 缩小，同时在整个变换过程中保持可视性。
• 证明对于星形多边形，此类变形在每个阶段均保持可视性，从而确保可视边数单调增加。
• 通过分析是否存在单个顶点可移动以增加可视性而不损失已有可视性，对变形过程进行离散化，并通过反例证明此方法并不总是可行。
• 利用次级多面体构造与面偏序集同构，将 𝒦_P 实现为嵌入在 ℝ^{n-3-d(P)} 中的几何对象。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个简单多边形均可通过一系列单调增加可视性的顶点移动变形至凸位置？
• RQ2 按可视性排序的多边形变形偏序集 𝒟 是否满足所有极大链长度为 binom(n,2) - 2n + 4？
• RQ3 是否存在从任一多边形到凸多边形的可视性增加变形路径，使得每一步均增加可视性？
• RQ4 对于哪些多边形类（如星形多边形）存在单调可视性增加的变形？
• RQ5 多边形的可视图是否可用于定义一个捕捉单形体子结构的变形空间？

主要发现

• 对于任意具有 n 个顶点的简单多边形 P，构造了一个多面复形 𝒦_P，其面偏序集与 P 的凸对角化偏序集同构，且 𝒦_P 是经典单形体 𝒦_n 的子复形。
• 𝒦_P 的维数为 n - 3 - d(P)，其中 d(P) 是使 P 凸化的最小对角线数。
• 变形偏序集 𝒟 是连通的，其最大元对应于凸 n 边形，最小元对应于具有唯一三角剖分的多边形。
• 对于星形 n 边形，存在从 P 到凸位置的连续变形，且在每个阶段均保持可视性，从而证明了单调可视性增加路径的存在性。
• 提供了反例，表明在某些非凸多边形中，无法通过移动任一顶点来增加可视性而不先损失部分已有可视性，从而否定了朴素离散版本的单调性猜想。
• 本文提出开放问题：变形偏序集 𝒟 中的所有极大链长度是否为 binom(n,2) - 2n + 4，若成立，则意味着变形过程中存在普遍的单调可视性增加。