[论文解读] Visibility in Proximal Delaunay Meshes

James F. Peters|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2015

Soil erosion and sediment transport参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文引入了在邻近Delaunay网格上的可见性关系 $v$ 及其强形式 $\mathop{v}\limits^{\doublewedge}$，证明了 $v$ 与Wallman邻近性等价，并表明赋予 $v$ 的Delaunay三角剖分区域可赋予局部Leader一致拓扑。核心贡献在于通过凸几何与关系器空间，为Delaunay网格中的可见性建立了拓扑与邻近性理论基础。

ABSTRACT

This paper introduces a visibility relation $v$ (and the strong visibility relation $\mathop{v}\limits^{\doublewedge}$) on proximal Delaunay meshes. A main result in this paper is that the visibility relation $v$ is equivalent to Wallman proximity. In addition, a Delaunay triangulation region endowed with the visibility relation $v$ has a local Leader uniform topology.

研究动机与目标

• 通过几何与拓扑原理形式化邻近Delaunay网格上的可见性关系 $v$。
• 建立可见性关系 $v$ 与Wallman邻近性的等价性，统一Delaunay结构中的邻近性与可见性。
• 证明赋予可见性关系 $v$ 的Delaunay三角剖分区域可赋予局部Leader一致拓扑。
• 通过可见性与邻近关系，将关系器空间的理论框架扩展至Delaunay网格。

提出的方法

• 将Delaunay网格子集之间的可见性 $v$ 定义为存在公共顶点或可见边连接。
• 利用闭包算子与Hausdorff距离形式化邻近性，将 $A \delta B$ 与 $\mathrm{cl}(A) \cap \mathrm{cl}(B) \neq \emptyset$ 关联。
• 将强可见性关系 $\mathop{v}\limits^{\doublewedge}$ 定义为三角形之间共享Delaunay边，且该关系等价于共享Delaunay边。
• 应用关系器空间 $\mathcal{R}_\delta = \{\delta, \mathop{\delta}\limits^{\doublewedge}, \underline{\delta}, \stackrel{\scriptstyle\text{\normalsize$\delta$}}{\text{\tiny$\doublevee$}}\}$ 来建模邻近性与可见性。
• 利用Delaunay三角形及其交集的凸性，证明三角剖分区域为凸多边形。
• 通过识别从给定子集可见的所有子集，构造Delaunay三角剖分区域上的局部Leader一致拓扑。

实验结果

研究问题

• RQ1 邻近Delaunay网格上的可见性关系 $v$ 是否与Wallman邻近性等价？
• RQ2 强可见性关系 $\mathop{v}\limits^{\doublewedge}$ 是否对应于三角形之间的共享Delaunay边？
• RQ3 能否为赋予可见性关系 $v$ 的Delaunay三角剖分区域配备局部Leader一致拓扑？
• RQ4 Delaunay网格中的可见性如何与Voronoï区域及Delaunay边定义相关联？

主要发现

• 可见性关系 $v$ 与Wallman邻近性等价，即当且仅当 $\mathrm{cl}(A) \cap \mathrm{cl}(B) \neq \emptyset$ 时 $A \ v\ B$ 成立，此条件恰好对应于 $A$ 与 $B$ 共享一个顶点。
• 强可见性关系 $\mathop{v}\limits^{\doublewedge}$ 等价于 $A$ 与 $B$ 共享一条公共Delaunay边，且该关系本身也是Wallman邻近性。
• 可见性关系 $v$ 在每个Delaunay三角剖分区域上诱导出局部Leader一致拓扑，通过为每个子集构造可见邻域得以证明。
• 邻近Delaunay三角剖分区域为凸多边形，因为它们是有限个凸Delaunay三角形的并集，且其交集仍保持凸性。
• 可见性关系 $\stackrel{\scriptstyle\text{\normalsize$v$}}{\text{\tiny$\doublevee$}}$（强不可见）成立当且仅当 $A$ 与 $B$ 不共享任何顶点或三角形，这等价于 $A \stackrel{\scriptstyle\text{\normalsize$\delta$}}{\text{\tiny$\doublevee$}} B$（强远距离）。
• 当且仅当其外接圆圆心位于Voronoï区域 $V_p, V_q, V_r$ 的闭包交集中时，Delaunay三角形 $\bigtriangleup(pqr)$ 存在，且这等价于 $V_p \mathop{v}\limits^{\doublewedge} V_q \mathop{v}\limits^{\doublewedge} V_r$。