[论文解读] Volume and Hilbert function of R-divisors

Mihai Fulger, Janós Kollár+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文在完备、正规的代数簇上，建立了R-除子的体积相等性与Hilbert函数不变性之间的精确等价关系。对于大R-除子，当且仅当有效R-除子E属于Zariski–Nakayama分解的负部，或分别属于除子型增广基簇时，其在加减E后体积保持不变。这些结果刻画了在R-线性等价下Hilbert函数保持不变的条件。

ABSTRACT

If D is a big divisor and E is an effective divisor, then vol(D-E)<=vol(D)<=vol(D+E). We discuss when each inequality is an equality. Surprisingly, the answer is that the asymptotic equality vol(D-E)=vol(D) is equivalent to the equality of the Hilbert functions of D-E and D. The analogous result holds when vol(D)=vol(D+E).

研究动机与目标

• 确定大R-除子的Hilbert函数在加上或减去一个有效R-除子后保持不变的条件。
• 刻画大R-除子在受有效R-除子扰动时体积保持不变的条件。
• 澄清在R-线性等价背景下体积相等性与Hilbert函数相等性之间的关系。
• 将经典关于体积与基簇的结果推广至任意完美域上的奇异、正规、完备代数簇。

提出的方法

• 使用Zariski–Nakayama分解（σ-分解）分析大R-除子D的负部Nσ(D)。
• 通过在D = A + E的分解中对A在余维1上为ample的条件，定义除子型增广基簇B+div(D)。
• 利用体积函数vol(D) = limsup_{m→∞} h⁰(mD)/(mⁿ/n!)，将渐近上同调增长与几何不变量联系起来。
• 通过变换与双有理模型，将问题约化为光滑射影簇，利用体积与基簇的齐次性与函子性。
• 使用σ-不变量σΓ(D)检测负部的分量，并将其与受限基簇联系起来。
• 应用[FL13]、[BFJ09]、[Cut13b]与[Nak04]的结果，建立上同调与数值等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当加上一个有效R-除子E时，H(X,D)的Hilbert函数在何时保持不变？
• RQ2 E的何种几何条件可保证大R-除子D满足vol(D − E) = vol(D)？
• RQ3 除子型增广基簇B+div(D)与扰动下体积和上同调保持不变的关系如何？
• RQ4 在何种情况下体积相等性蕴含Hilbert函数相等性，反之亦然？
• RQ5 σ-分解与B+div(D)在刻画体积不变性方面如何相互作用？

主要发现

• 对于大R-除子D与有效E，有vol(D − E) = vol(D)当且仅当E ≤ Nσ(D)，即D的σ-分解的负部。
• Hilbert函数H(X,D)在减去E后保持不变当且仅当E ≤ Nσ(D)，且该结论对所有R-线性等价的D′ ∼ℝ D一致成立。
• 为使体积在加上E后保持不变，必要且充分条件是Supp(E) ⊆ B+div(D)，即D的增广基簇的除子部分。
• Hilbert函数H(X,D)在加上E后保持不变当且仅当Supp(E) ⊆ B+div(D)，且该结论对所有D′ ∼ℝ D一致成立。
• 当D为R-Cartier且nef时，vol(D + E) = vol(D)成立仅当Dⁿ⁻¹·E = 0；而vol(D − E) = vol(D)仅当E = 0时成立。
• 上述结果与R-线性等价类中代表元的选择无关，表明体积与Hilbert函数不变性仅依赖于R-线性类。