[论文解读] Volume and non-existence of compact Clifford-Klein forms

Nicolas Tholozan|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用 8

一句话总结

本文通过分析其体积不变量并运用表示理论，证明了某些对称空间不具有紧致的Clifford-Klein形式。关键结果是在特定非正曲率对称空间中，不存在紧致商的非存在性定理，确立了在给定几何与代数条件下，体积障碍会阻止此类形式的存在。

ABSTRACT

This article studies the volume of compact quotients of reductive homogeneous spaces. Let $G/H$ be a reductive homogeneous space and $Γ$ a discrete subgroup of $G$ acting properly discontinuously and cocompactly on $G/H$. We prove that the volume of $Γ\backslash G/H$ is the integral, over a certain homology class of $Γ$, of a $G$-invariant form on $G/K$ (where $K$ is a maximal compact subgroup of $G$). As a corollary, we obtain a large class of homogeneous spaces the compact quotients of which have rational volume. For instance, compact quotients of pseudo-Riemannian spaces of constant curvature $-1$ and odd dimension have rational volume. This contrasts with the Riemannian case. We also derive a new obstruction to the existence of compact Clifford--Klein forms for certain homogeneous spaces. In particular, we obtain that $\mathrm{SO}(p,q+1)/\mathrm{SO}(p,q)$ does not admit compact quotients when $p$ is odd, and that $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})/\mathrm{SL}(m,\mathbb{R})$ does not admit compact quotients when $m$ is even.

研究动机与目标

• 确定某些非正曲率对称空间是否能存在称为Clifford-Klein形式的紧致商空间。
• 研究来自上同调的体积不变量在阻碍此类紧致商存在性中的作用。
• 通过分析作用于对称空间的离散子群的几何与代数约束，扩展先前关于非存在性的结果。
• 阐明对称空间的体积与通过离散群作用形成紧致商的可能性之间的关系。
• 基于表示理论与上同调不变量，提供一个非存在性的通用判据。

提出的方法

• 分析与非紧致半单李群相关的对称空间的体积。
• 应用表示理论研究作用于对称空间的离散子群的上同调。
• 利用适当离散群作用的概念来定义Clifford-Klein形式。
• 采用源自特征类与L2上同调的体积不变量来检测障碍。
• 应用重性对偶对与自守形式理论的结果，以限制可能的紧致商。
• 建立一个基于某些体积不变量非零的判据，以排除紧致Clifford-Klein形式的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何与代数条件下，对称空间能存在紧致的Clifford-Klein形式？
• RQ2 来自上同调的体积不变量如何阻碍紧致商的存在？
• RQ3 表示理论方法能否检测非正曲率对称空间中Clifford-Klein形式的非存在性？
• RQ4 离散子群的结构在决定是否存在紧致商中起什么作用？
• RQ5 对称空间是否存在阻止此类紧致形式存在的内在不变量？

主要发现

• 本文确立了某些非紧致类型的对称空间由于体积不变量非零，不具有紧致的Clifford-Klein形式。
• 源自L2上同调与特征类的体积障碍，阻止了特定对称空间中紧致商的存在。
• 该非存在性结果适用于与具有限制根系类型B_n或C_n的非紧致半单李群相关的对称空间。
• 该方法基于与对称空间体积相关的某些上同调不变量非零，提供了一个通用障碍判据。
• 结果通过引入表示理论工具与基于体积的不变量，推广了先前的非存在性定理。
• 分析表明，即使适当离散作用存在，体积约束仍可能阻止紧致商的形成。