[论文解读] Volume and Self-Intersection of Differences of Two Nef Classes

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用 12

一句话总结

本文在紧致 Kähler 流形上，针对满足 $\{\alpha\}^n - n\{\alpha\}^{n-1}.\{\beta\} > 0$ 的 nef $(1,1)$-类 $\{\alpha\}$ 和 $\{\beta\}$，建立了差类 $\{\alpha - \beta\}$ 的体积下界。在体积主导上自交数的条件下，证明了 $\mathrm{Vol}(\{\alpha - \beta\}) \geq \{\alpha\}^n - n\{\alpha\}^{n-1}.\{\beta\}$，并进一步表明上自交数 $\{\alpha - \beta\}^n$ 也受到相同表达式的下界控制，从而在特殊情形下支持了 Demailly 的超越 Morse 不等式猜想。

ABSTRACT

Let $\{α\}$ and $\{β\}$ be nef cohomology classes of bidegree $(1,\,1)$ on a compact $n$-dimensional Kähler manifold $X$ such that the difference of intersection numbers $\{α\}^n - n\,\{α\}^{n-1}.\,\{β\}$ is positive. We solve in a number of special but rather inclusive cases the quantitative part of Demailly's Transcendental Morse Inequalities Conjecture for this context predicting the lower bound $\{α\}^n-n\,\{α\}^{n-1}.\,\{β\}$ for the volume of the difference class $\{α-β\}$. We completely solved the qualitative part in an earlier work. We also give general lower bounds for the volume of $\{α-β\}$ and show that the self-intersection number $\{α-β\}^n$ is always bounded below by $\{α\}^n-n\,\{α\}^{n-1}.\,\{β\}$. We also describe and estimate the relative psef and nef thresholds of $\{α\}$ with respect to $\{β\}$ and relate them to the volume of $\{α-β\}$. Finally, broadening the scope beyond the Kähler realm, we propose a conjecture relating the balanced and the Gauduchon cones of $\partial\bar\partial$-manifolds which, if proved to hold true, would imply the existence of a balanced metric on any $\partial\bar\partial$-manifold.

研究动机与目标

• 解决 Demailly 的超越 Morse 不等式猜想中关于紧致 Kähler 流形上两个 nef 上同调类差的定量部分。
• 在交数 $\{\alpha\}^n - n\{\alpha\}^{n-1}.\{\beta\}$ 的表达下，为类 $\{\alpha - \beta\}$ 的体积建立下界。
• 分析 $\{\alpha\}$ 相对于 $\{\beta\}$ 的相对 psef 与 nef 阈值，并将其与 $\{\alpha - \beta\}$ 的体积联系起来。
• 在 $\partial\bar{\partial}$-流形上提出一个关于平衡与 Gauduchon 锥之间对偶性的猜想，该猜想若成立，将蕴含平衡度量的存在性。

提出的方法

• 使用 Monge-Ampère 方程与近似不动点技巧，构造 $\{\alpha\}$ 类中的 Kähler 度量。
• 应用柯西-施瓦茨不等式与点态不等式（例如 (85) 式），推导出体积与自交数的下界。
• 利用函数 $j \mapsto \log(\{\alpha\}^j.\{\beta\}^{n-j})$ 的凹性，证明关键的交数不等式。
• 依赖于已知事实：对 nef 类，体积等于上自交数，并将此结论推广至特定条件下的差类。
• 使用当前的 Lebesgue 分解与正当前的绝对连续部分的定义来定义体积。
• 应用 Hörmander 型 $L^2$-估计与逼近技巧，控制渐近估计中的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定正则性条件下，$\{\alpha - \beta\}$ 的体积是否满足下界 $\{\alpha\}^n - n\{\alpha\}^{n-1}.\{\beta\}$？
• RQ2 在何种条件下，$\{\alpha - \beta\}$ 的体积会主导其上自交数？
• RQ3 $\{\alpha\}$ 相对于 $\{\beta\}$ 的 psef 与 nef 阈值如何与 $\{\alpha - \beta\}$ 的体积相关？
• RQ4 自交数 $\{\alpha - \beta\}^n$ 是否可被 $\{\alpha\}^n - n\{\alpha\}^{n-1}.\{\beta\}$ 从下方控制？
• RQ5 在 $\partial\bar{\partial}$-流形上，若平衡锥与 Gauduchon 锥之间存在猜想中的对偶性，是否可推出平衡度量的存在？

主要发现

• 当 $\mathrm{Vol}(\{\alpha - \beta\}) \geq \{\alpha - \beta\}^n$ 时，$\{\alpha - \beta\}$ 的体积满足 $\mathrm{Vol}(\{\alpha - \beta\}) \geq \{\alpha\}^n - n\{\alpha\}^{n-1}.\{\beta\}$，确认了 Demailly 猜想的关键情形。
• 在无额外假设下，自交数 $\{\alpha - \beta\}^n$ 从下方被 $\{\alpha\}^n - n\{\alpha\}^{n-1}.\{\beta\}$ 控制，具有普遍性。
• 对所有满足 $0 \leq k \leq n-p \leq n$ 的 $k, p$，不等式 $\{\alpha\}^{n-p}.\{\beta\}^p \cdot \{\alpha\}^{p+k}.\{\beta\}^{n-p-k} \geq \{\alpha\}^n \cdot \{\alpha\}^k.\{\beta\}^{n-k}$ 成立，其证明基于凹性与点态估计。
• 证明了 $\{\alpha\}$ 相对于 $\{\beta\}$ 的 psef 与 nef 阈值与 $\{\alpha - \beta\}$ 的体积相关，为体积下界提供了几何解释。
• 论文证明了在正则性条件下，类 $\{\alpha - \beta\}$ 是大类（包含 Kähler 当前），从而确认了前期工作中猜想的定性部分。
• 提出一个关于 $\partial\bar{\partial}$-流形上平衡锥与 Gauduchon 锥之间对偶性的猜想，若成立，将蕴含任意此类流形上存在平衡度量。