[论文解读] Volume, diameter and the minimal mass of a stationary 1-cycle

Alexander Nabutovsky, Regina Rotman|ArXiv.org|Jan 28, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文利用几何测度论和极小化极大论证，建立了任意闭黎曼n-流形上非平凡静止1-循环的最小质量的显式上界。证明了最小质量在直径$d$下至多为$\frac{(n+2)!d}{3}$，在填充分半径下至多为$2(n+2)!\text{FillRad}(M^n)$，并给出了涉及$\text{vol}(M^n)^{1/n}$的体积相关上界。这些结果为最短闭测地线及相关1-循环的长度提供了无曲率估计。

ABSTRACT

In this paper we present upper bounds on the minimal mass of a non-trivial stationary 1-cycle. The results that we obtain are valid for all closed Riemannian manifolds. The first result is that the minimal mass of a stationary 1-cycle on a closed n-dimensional Riemannian manifold M^n is bounded from above by (n+2)!d/3, where d is the diameter of a manifold M^n. The second result is that the minimal mass of a stationary 1-cycle on a closed Riemannian manifold M^n is bounded from above by 2(n+2)!Fill Rad(M^n) and, as a corollary, by 2(n+2)!(n+1)n^n(n!)^{1/2}(vol(M^n))^{1/n}, where Fill Rad(M^n) is the filling radius of the manifold, and vol(M^n) is its volume.

研究动机与目标

• 建立任意闭黎曼n-流形上非平凡静止1-循环的最小质量的无曲率上界。
• 回应格罗莫夫关于最短闭测地线长度是否受直径或体积根的倍数有界的疑问。
• 将阿尔姆格伦-皮茨极小化极大方法推广至参数化1-循环，并利用同伦理论提升技术构造此类1-循环。
• 对最优静止1-循环的质量和线段数量提供显式的定量估计。

提出的方法

• 将最优1-循环构造为具有偶数重数的测地线段的有限并集，通过各点处向量和的抵消确保静止性条件。
• 在从球面到1-循环空间的映射上应用极小化极大论证，受阿尔姆格伦和皮茨的启发，以生成静止变体。
• 使用提升技术在参数化1-循环空间中同伦收缩边界循环，依赖于能将成对线段收缩至中点的能力。
• 利用格罗莫夫基于体积的填充分半径上界，推导出最小质量的体积相关上界。
• 通过阿尔姆格伦同构（将循环空间的同伦群与流形的同调群联系起来）利用同伦理论障碍理论。
• 用参数化1-循环空间$\Gamma_k$上的初等构造替代完整的几何测度论工具，同时保留核心几何直觉。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无曲率假设下，能否对闭黎曼n-流形上非平凡静止1-循环的最小质量给出上界？
• RQ2 是否存在一个通用常数$\tilde{c}(n)$，使得静止1-循环的最小质量至多为$\tilde{c}(n) \cdot \text{diam}(M^n)$？
• RQ3 流形的填充分半径能否用于界定静止1-循环的最小质量？其与体积的关系如何？
• RQ4 此类上界的存在是否意味着对最短闭测地线长度的估计得到改进？
• RQ5 能否将几何测度论中的极小化极大方法调整为对静止1-循环质量提供显式、可计算的上界？

主要发现

• 在闭n维黎曼流形$M^n$上，非平凡静止1-循环的最小质量至多为$\frac{(n+2)! \cdot d}{3}$，其中$d$为$M^n$的直径。
• 建立了上界$2(n+2)! \cdot \text{FillRad}(M^n)$，且由于$\text{FillRad}(M^n) \leq 2(n+1)n^n\sqrt{n!} \cdot \text{vol}(M^n)^{1/n}$，由此可导出体积相关上界。
• 在质量$\leq \tilde{c}(n)d$的最优静止1-循环中，测地线段总数（按重数计数）仅依赖于$n$而有界。
• 该构造产生了一类特殊类型的静止1-循环——最优且参数化的——其质量满足上述上界。
• 当$M^n$微分同胚于$S^2$时，该方法可构造出一条闭测地线，改进了此前对最短闭测地线长度的估计。
• 结果为最短闭测地线的长度提供了无曲率上界，扩展了克罗克、前田和萨布劳的早期工作。