[论文解读] Volume entropy and the Gromov boundary of flat surfaces

Klaus Dankwart|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 3

一句话总结

该论文证明了对于亏格 $g \geq 2$ 且面积为 1 的闭合平坦曲面，模形式空间中的发散等价于其体积熵以及其万有覆叠的 Gromov 边界的 Hausdorff 维数趋于无穷大。此外，论文还基于基曲面的熵、分支点之间的最小距离以及组合复杂度度量，给出了分支覆盖的熵的界，并构造了渐近最优的示例。

ABSTRACT

We consider the volume entropy of closed flat surfaces of genus $g\geq 2$ and area 1. We show that a sequence of flat surfaces diverges in the moduli space if and only if the volume entropy converges to infinity. Equivalently the Hausdorff dimension of the Gromov boundary of the isometric universal cover tends to infinity. Moreover, we estimate the entropy of a locally isometric branched covering of a flat surface by the entropy of base surface and the geometry of the covering map.

研究动机与目标

• 通过几何不变量刻画平坦曲面序列在模形式空间中发散的条件。
• 建立模形式空间中发散序列与体积熵或 Gromov 边界维数发散之间的等价性。
• 根据覆盖映射的几何与组合数据，估计平坦分支覆盖的体积熵。
• 构造示例以表明所推导的熵界是渐近最优的。

提出的方法

• 使用 Švarc-Milnor 引理，通过拟等距将平坦曲面的万有覆叠与 Poincaré 圆盘联系起来。
• 应用 Gromov 的 $\delta$-双曲空间理论，定义 Gromov 边界及其 Hausdorff 维数。
• 将体积熵定义为在给定距离内以基点为中心的提升变换数量的增长率。
• 建立关键关系式：Gromov 边界的 Hausdorff 维数等于 $e(X)/\log(\xi)$，其中 $\xi = 2^{1/(2\delta_{\inf})}$。
• 通过分支点数据与测地线连接，构造从覆盖曲面上的闭合曲线到一个三叶覆盖模型上的闭合曲线的映射 $\Phi$。
• 通过计数论证推导熵的界：$e(T) \leq (e(S)+1)\left(a(S) + \frac{C \log(\lambda(T))}{l_b(T)}\right)$，其中 $\lambda(T)$ 衡量组合复杂度，$l_b(T)$ 为分支点间的最小距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 在模形式空间 $\mathcal{Q}_g$ 中，平坦曲面序列何时发散？
• RQ2 体积熵与 Gromov 边界 Hausdorff 维数如何与模形式空间的几何相关联？
• RQ3 能否根据基曲面与覆盖的几何，对平坦分支覆盖的体积熵施加界限？
• RQ4 所推导的熵界是否渐近最优？

主要发现

• 当且仅当 $S_i$ 的体积熵趋于无穷大时，平坦曲面序列 $S_i \in \mathcal{Q}_g$ 在模形式空间中发散。
• 等价地，当 $i \to \infty$ 时，$S_i$ 的万有覆叠的 Gromov 边界的 Hausdorff 维数趋于无穷大。
• 对于平坦分支覆盖 $\pi: T \to S$，体积熵满足不等式 $e(T) \leq (e(S)+1)\left(a(S) + \frac{C \log(\lambda(T))}{l_b(T)}\right)$，其中常数 $C > 0$，$\lambda(T)$ 综合了叶数与分支点数量，$l_b(T)$ 为分支点间的最小距离。
• 相同的熵界也适用于 Gromov 边界 Hausdorff 维数。
• 论文构造了一族示例，证明了熵界是渐近最优的。
• 对于具有一个分歧点的三叶分支覆盖 $T_0 \to S$，其熵满足 $e(T_0) \leq a_1(S)(\log(2n) + e(S))$，该不等式被用作一般界中的基础情形。