[论文解读] Volume entropy semi-norm

Ivan Babenko, Stéphane Sabourau|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文在实同调中引入了体积熵半范数，证明其在所有维数下与单纯同调体积半范数等价——回答了 M. Gromov 提出的一个问题。作者建立了函子性性质，将该不变量与非线性几何联系起来，并推导出在维度 $ m \geq 3 $ 时，同调类倍数的非线性体积的近似最优上界。

ABSTRACT

We introduce the volume entropy semi-norm in real homology and show that it satisfies functorial properties similar to the ones of the simplicial volume. Answering a question of M. Gromov, we prove that the volume entropy semi-norm is equivalent to the simplicial volume semi-norm in every dimension. We also establish a roughly optimal upper bound on the systolic volume of the multiples of any homology class.

研究动机与目标

• 定义并研究体积熵半范数作为实同调群上的函子性几何半范数。
• 解决 M. Gromov 关于体积熵半范数与单纯同调体积之间等价性的问题。
• 探索体积熵、非线性几何与有限维同调不变量之间的联系。
• 在维度 $ m \geq 3 $ 时，建立同调类倍数的非线性体积的紧致上界。

提出的方法

• 通过基本群的正规子群在对应覆盖空间中球体积的指数增长速率，定义黎曼流形相对于该子群的体积熵。
• 将最小体积熵 $ \omega_H(M) $ 定义为所有分段黎曼度量下 $ \text{ent}_H(M,g) \cdot \text{vol}(M,g)^{1/m} $ 的下确界。
• 通过代表该同调类的所有几何循环的下确界，将体积熵推广到同调类，定义体积熵半范数 $ \omega(\mathbf{a}) $。
• 利用覆盖空间理论与几何群论技术，证明体积熵半范数的函子性与同调不变性。
• 通过几何实现与非线性体积估计，建立体积熵半范数与单纯同调体积之间的比较结果。
• 应用线性群中非线性增长的结果，推导出有限覆盖中测地线的对数下界，从而得到同调类倍数的非线性体积的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 体积熵半范数在所有维数下是否与单纯同调体积半范数等价？
• RQ2 体积熵半范数在连续映射与同伦等价下如何表现？
• RQ3 在维度 $ m \geq 3 $ 时，同调类倍数的非线性体积的渐近行为如何？
• RQ4 体积熵半范数能否通过伪流形的有限覆盖几何实现？
• RQ5 在维度 $ m \geq 3 $ 时，非线性半范数是否与单纯同调体积或体积熵半范数等价？

主要发现

• 体积熵半范数在每个维数下均与单纯同调体积半范数等价，回答了 M. Gromov 的一个问题。
• 体积熵半范数满足类似于单纯同调体积的函子性性质，包括在同伦等价下的不变性。
• 对于任意同调类 $ \mathbf{a} \in H_m(X;\mathbb{Z}) $ 且 $ m \geq 3 $，$ k\mathbf{a} $ 的非线性体积上界为 $ C \cdot \frac{k}{(\log k)^m} $，其中常数 $ C $ 仅依赖于 $ \mathbf{a} $。
• 非线性半范数 $ \|\mathbf{a}\|_\sigma $ 从下方被单纯同调体积的常数倍控制：$ \|\mathbf{a}\|_\sigma \geq \lambda_m \|\mathbf{a}\|_\Delta $。
• 体积熵半范数是同调不变量，仅依赖于基本类在 Eilenberg-MacLane 空间上的分类映射的像。
• 通过稳定化过程构造非线性半范数，得到一个平移不变的伪距离，从而在实同调上诱导出一个良定义的半范数。