[论文解读] Volume growth, capacity estimates, $p$-parabolicity and sharp integrability properties of $p$-harmonic Green functions

Anders Björn, Jana Björn+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 41被引用 4

一句话总结

该论文在具有加倍测度和 $p$-Poincaré 不等式的度量测度空间中，建立了 $p$-次调和格林函数及其梯度的精确可积性与增长估计。论文提出了一种关于环形区域的新容量估计，该估计刻画了 $p$-抛物性，并基于奇点附近的测度增长确定了可积性，将结果推广至加权 $ olimits^\mathbf{R}^n$ 和流形，给出了 $L^\tau$ 与 $L^t$ 可积性的精确阈值。

ABSTRACT

In a complete metric space equipped with a doubling measure supporting a $p$-Poincaré inequality, we prove sharp growth and integrability results for $p$-harmonic Green functions and their minimal $p$-weak upper gradients. We show that these properties are determined by the growth of the underlying measure near the singularity. Corresponding results are obtained also for more general $p$-harmonic functions with poles, as well as for singular solutions of elliptic differential equations in divergence form on weighted $\mathbf{R}^n$ and on manifolds. The proofs are based on a new general capacity estimate for annuli, which implies precise pointwise estimates for $p$-harmonic Green functions. The capacity estimate is valid under considerably milder assumptions than above. We also use it, under these milder assumptions, to characterize singletons of zero capacity and the $p$-parabolicity of the space. This generalizes and improves earlier results that have been important especially in the context of Riemannian manifolds.

研究动机与目标

• 刻画度量测度空间中 $p$-次调和格林函数的 $L^\tau$-可积性与体积增长。
• 为具有极点的 $p$-次调和函数及其最小 $p$-弱上梯度的可积性建立精确阈值。
• 在最小假设下将 $p$-抛物性与容量的结果推广至度量空间。
• 统一并改进加权 $ olimits^\mathbf{R}^n$ 与黎曼流形中奇异解的现有结果。
• 提出一种适用于环形区域的一般容量估计，以捕捉测度增长与 $p$-抛物性之间的相互作用。

提出的方法

• 在温和假设下，为度量测度空间中的环形区域发展了一种新的通用容量估计，即使在缺乏全局 Poincaré 不等式时也成立。
• 利用容量估计推导出 $p$-次调和格林函数及其梯度的精确点态界。
• 将容量估计应用于刻画零容量单点与空间的 $p$-抛物性。
• 基于上梯度意义下的 $p$-弱上梯度理论与 $p$-能量最小化理论。
• 通过将加权 $ olimits^\mathbf{R}^n$ 与流形中的结果进行适配与拓展，将可积性与奇点附近测度的增长率相联系。
• 采用 Caccioppoli 型不等式与截断技术，分析梯度的局部可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 测度在奇点附近的增长如何决定 $p$-次调和格林函数的 $L^\tau$-可积性？
• RQ2 在测度的齐次维数 $\overline{s}_0$ 的表达下，$p$-次调和格林函数 $L^\tau$-可积性的精确阈值 $\tau_p$ 是什么？
• RQ3 环形区域的容量估计如何与 $p$-抛物性及零容量点的存在性相关联？
• RQ4 关于具有极点的 $p$-次调和函数的结果在多大程度上可推广至散度型一般椭圆方程的解？
• RQ5 在仅具备加倍与 Poincaré 不等式等最小几何假设下，能否获得梯度的精确可积性结果？

主要发现

• $p$-次调和格林函数的 $L^\tau$-可积性是精确的，由 $\tau_p = \overline{s}_0(p-1)/\overline{s}_0$ 决定，其中 $\overline{s}_0$ 为测度在奇点附近的临界增长指数。
• 格林函数的最小 $p$-弱上梯度属于 $L^t_{\rm loc}$ 对所有 $t < t_p$ 成立，其中 $t_p = \overline{s}_0(p-1)/\overline{s}_0$，且在 $L^{t_p}$ 中不成立，从而确立了精确性。
• 仅在加倍与 Poincaré 不等式假设下，环形区域的新容量估计成立，从而可刻画 $p$-抛物性与零容量单点。
• 结果可推广至加权 $ olimits^\mathbf{R}^n$ 与黎曼流形，相同的可积性阈值由测度的局部增长决定。
• 容量估计表明，$p$-抛物性等价于临界测度增长 $\mu(B(x_0,r)) \lesssim r^{\overline{s}_0}$，其中 $\overline{s}_0 \leq p-1$。
• 对于具有狄拉克型源项的散度型椭圆方程的解，其可积性与增长性质与 $p$-次调和格林函数相同。