[论文解读] Volume growth, Comparison theorem and Escape Rate of Diffusion Process

Shun-Xiang Ouyang|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文利用体积增长和比较定理，为扩散过程建立了上界速率函数。将Hsu与Qin关于布朗运动的结果推广至一般对称强局部Dirichlet型，并证明了一个比较定理，将黎曼流形上扩散过程的逃逸速率与带漂移的一维Itô扩散联系起来，从而基于体积增长和能量密度得出上界。

ABSTRACT

We study the escape rate of diffusion process with two approaches. We first give an upper rate function for the diffusion process associated with a symmetric, strongly local regular Dirichlet form. The upper rate function is in terms of the volume growth of the underlying state space. The method is due to Hsu and Qin [Ann. Probab., 38(4), 2010] where an upper rate function was given for Brownian motion on Riemannian manifold. In the second part, we prove a comparison theorem and give an upper rate function for diffusion process on Riemannian manifold in terms of the upper rate function for the solution process of a one dimensional stochastic differential equation.

研究动机与目标

• 将Hsu与Qin在黎曼流形上对布朗运动的上界速率函数结果推广至对称强局部Dirichlet型框架。
• 通过状态空间的体积增长与径向函数的能量密度，刻画扩散过程的逃逸速率。
• 通过将扩散过程与带漂移的一维Itô扩散相联系，建立黎曼流形上扩散过程的比较定理。
• 在漂移与扩散条件下，利用一维SDE的解，推导径向过程的显式上界速率函数。
• 提供充分条件，使得逃逸速率被时间函数所控制，从而保证过程的保守性。

提出的方法

• 使用对称、正则、强局部Dirichlet型在度量测度空间上建模扩散过程。
• 基于度量球的体积增长与径向函数 $\rho$ 的能量密度 $\Gamma(\rho,\rho)$ 推导上界速率函数。
• 应用比较定理，将流形上扩散的径向过程与带漂移 $\theta$ 的一维Itô扩散相联系。
• 使用Itô公式将径向过程转化为带漂移与扩散系数的时间改变扩散过程。
• 建立漂移 $b(x)$ 与扩散 $\sigma(x)$ 的充分条件，以确保 $ (b_0 + \varepsilon)t $ 是变换后过程的上界速率函数。
• 应用迭代对数律与路径估计，控制扩散过程的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用状态空间的体积增长，来界定与对称强局部Dirichlet型相关联的扩散过程的逃逸速率？
• RQ2 一维Itô过程的漂移与扩散系数满足何种条件，可使 $ (b_0 + \varepsilon)t $ 成为上界速率函数？
• RQ3 在黎曼流形的何种几何条件下，扩散的径向过程与带漂移的缩放布朗运动满足比较关系？
• RQ4 在Dirichlet型框架中，能量密度 $\Gamma(\rho,\rho)$ 如何影响上界速率函数？
• RQ5 在漂移条件 $ L\rho_o \leq \theta(\rho_o) $ 下，能否通过一维SDE的解来控制流形上扩散的逃逸速率？

主要发现

• 对于对称强局部Dirichlet型，基于体积增长与能量密度 $ \Gamma(\rho, \rho) $ 推导出上界速率函数，且在拓扑条件下该界为最优。
• 当 $ \Gamma(\rho, \rho) \leq 1 $ 时，上界速率函数仅依赖于度量球的体积增长。
• 建立了比较定理：若 $ L\rho_o \leq \theta(\rho_o) $，则扩散的径向过程被一维SDE（带漂移 $ \theta $）的解 stochastically dominated。
• 对于满足 $ b(x) \leq b_0 $ 与 $ \sigma(x) \leq C_\sigma(1 + x^\alpha) $（$ \alpha < 1 $）的一维Itô过程 $ z_t $，$ (b_0 + \varepsilon)t $ 是上界速率函数。
• 在漂移条件 $ b(x) \leq \tilde{b}(x) $ 且 $ \int^\infty \frac{1}{\tilde{b}(s)} ds = \infty $ 下，上界速率函数为 $ g((C + \varepsilon)t) $，其中 $ C = 1 + C_2/2 $，$ g $ 为 $ 1/\tilde{b} $ 积分的反函数。
• 对于满足 $ dx_t = \theta(x_t) dt + \sqrt{2} dW_t $ 且 $ \theta(x) \leq \theta_\alpha x^\alpha $ 的 $ x_t $，上界速率函数为 $ g_\alpha(C_\alpha t) $，其中 $ g_\alpha $ 满足 $ t = \int_0^{g_\alpha(t)} \frac{1}{\theta_\alpha x^\alpha} dx $。