[论文解读] Volume growth, curvature decay, and critical metrics

Jeff Viaclovsky, Gang Tian|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文建立了具有曲率衰减的黎曼流形的改进体积增长估计与正则性定理，通过仅要求体积下界条件，消除了以往对一阶贝蒂数或全局索伯列夫常数的假设。关键贡献在于提出了一类针对临界度量的新局部 $\epsilon$-正则性定理，该定理依赖于体积下界而非索伯列夫常数，从而在更弱的几何约束下实现了更强的紧致性与 ALE 结构结果。

ABSTRACT

We make some improvements to our previous results. First, we prove a version of our volume growth theorem which does not require any assumption on the first Betti number. Second, we show that our local regularity theorem only requires a lower volume growth assumption, not a full Sobolev constant bound. These results allow us to weaken the assumptions of our previous volume growth and convergence theorems.

研究动机与目标

• 消除在具有渐近非负曲率的流形的体积增长定理中对有限一阶贝蒂数的假设需求。
• 将局部正则性定理中的全局索伯列夫常数有界条件替换为体积下界增长条件。
• 在更弱的几何假设下，将紧致性与 ALE 结构结果推广至临界度量。
• 加强四维临界度量的正则性与可移除奇点理论。
• 修正并补全先前论证中的漏洞，特别是关于测地线环形区域连通性及可移除奇点作用的问题。

提出的方法

• 证明一个新的体积增长定理（定理 1.1），其基于负 Ricci 曲率在 $L^{n/2}$ 中的下界以及球体上的体积下界。
• 建立一个局部 $\epsilon$-正则性定理（定理 1.2），以体积下界增长条件替代索伯列夫常数假设。
• 将新的正则性与体积增长结果应用于满足 $\Delta \mathrm{Ric} = \mathrm{Rm} \ast \mathrm{Ric}$ 的临界度量，该类度量包括 Bach-平坦与自对偶度量。
• 在四维中利用高斯-博内定理与 Hirzebruch 指标定理，在拓扑与数量曲率约束下控制 $\|Rm\|_{L^2}$。
• 利用临界度量的可移除奇点定理，将结果推广至轨道流形设定与 ALE 尾部。
• 重新审视并修正早期证明中的漏洞，特别是关于紧致性定理中测地线球面与环形区域连通性的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设有限一阶贝蒂数的条件下，能否建立曲率衰减 $|Rm| = o(r^{-2})$ 的流形的体积增长估计？
• RQ2 能否在仅假设体积下界增长而非全局索伯列夫常数有界的前提下，证明临界度量的 $\epsilon$-正则性定理？
• RQ3 在何种几何条件下，具有临界度量且曲率 $L^2$-范数有限的完备非紧四维流形具有有限多个 ALE 尾部？
• RQ4 能否在不假设索伯列夫常数有界或贝蒂数条件的前提下，证明临界度量序列的紧致性定理？
• RQ5 在何种条件下，一个 $C^0$-轨道流形度量若其曲率 $L^2$-范数有限，可在孤立奇点处光滑延拓？

主要发现

• 定理 1.1 表明：对于满足 $C_S < \infty$、$|Rm| = o(r^{-2})$ 且 $\int_M |Ric_-|^{n/2} dV < \Lambda$ 的完备非紧 $n$-流形，其具有有限个端点，且满足 $\mathrm{Vol}(B(p,r)) \leq C_2 r^n$。
• 定理 1.2 证明了仅依赖于体积下界增长条件的临界度量局部 $\epsilon$-正则性结果：若对所有 $q \in B(p,r/2)$ 与 $s \leq r/2$，有 $\mathrm{Vol}(B(q,s)) \geq V_0 s^4$，则 $\sup_{B(p,r/2)} |\nabla^k Rm| \leq C_k r^{-2-k} \|Rm\|_{L^2(B(p,r))}$。
• 定理 1.3 表明：对于满足 $\|Rm\|_{L^2} \leq \Lambda$ 的临界度量（类型 (a)、(b) 或 (c)），在体积下界增长与贝蒂数有界条件下，有 $\mathrm{Vol}(B(p,r)) \leq V_1 r^4$。
• 定理 1.3 的另一种形式以局部索伯列夫常数 $C_S(r) < C_1$ 的一致有界性替代贝蒂数有界性，得到 $\mathrm{Vol}(B(p,r)) \leq V_2 r^4$。
• 定理 1.4 在相同体积下界增长或索伯列夫常数假设下，建立了单位体积临界度量序列的紧致性，无需贝蒂数或全局索伯列夫控制。
• 定理 5.1 改进了早期结果，表明在体积下界增长与有限贝蒂数（或有限 $C_S$）条件下，若完备四维流形满足 $\|Rm\|_{L^2} < \infty$，则其具有有限多个端点，每个端点均为 $\tau < 2$ 阶 ALE。