[论文解读] Volume growth, eigenvalue and compactness for self-shrinkers

Qi Ding, Y. L. Xin|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 26

一句话总结

本文建立了欧氏空间中完备非紧致自缩子的最优欧氏体积增长界，并为紧致自缩子上 $\iota$-算子的首特征值提供了精确下界。通过特征值估计，作者证明了在有界亏格与直径条件下，$\mathbb{R}^3$ 中嵌入自缩子的紧致性定理，推广了此前由 Colding-Minicozzi 得到的结果，且在更弱条件下成立。

ABSTRACT

In this paper, we show an optimal volume growth for self-shrinkers, and estimate a lower bound of the first eigenvalue of $\mathcal{L}$ operator on self-shrinkers, inspired by the first eigenvalue conjecture on minimal hypersurfaces in the unit sphere by Yau \cite{SY}. By the eigenvalue estimates, we can prove a compactness theorem on a class of compact self-shrinkers in $\ir{3}$ obtained by Colding-Minicozzi under weaker conditions.

研究动机与目标

• 建立完备非紧致自缩子在 $\mathbb{R}^{n+m}$ 中的最优体积增长界，表明其增长至多如欧氏空间。
• 估计紧致自缩子上 $\iota$-算子的首特征值，受 Yau 关于极小超曲面猜想的启发。
• 在有界亏格与直径条件下，证明 $\mathbb{R}^3$ 中嵌入自缩子的紧致性定理，改进 Colding-Minicozzi 的早期结果。
• 将 $\iota$-算子的谱几何与亏格和直径等几何约束联系起来，通过特征值控制实现紧致性。

提出的方法

• 利用定义为 $\iota = \Delta - \frac{1}{2}\langle X, \nabla(\cdot)\rangle$ 的 $\iota$-算子，推导加权 Poincaré 不等式，其在测度 $e^{-|X|^2/4}d\mu$ 下自伴。
• 应用比较论证，利用 Yang-Yau 不等式对亏格为 $g$ 的黎曼曲面的拉普拉斯算子首特征值进行界定。
• 通过度量的共形变换 $\widetilde{g}_{ij} = \rho g_{ij}$（其中 $\rho = e^{-|X|^2/4}$）将 $\widetilde{\Delta}$-特征值与 $\mathcal{L}$-特征值关联。
• 通过 $\int_M \rho \leq 32\pi(1+g)$ 推导出 $\int_{D_r} d\mu \leq 32e^{1/4}\pi(1+g)r^2$（对 $r \geq 1$），从而建立统一的体积增长估计。
• 将体积增长与亏格界结合，并利用 Gauss-Bonnet 公式控制 $\int_\Sigma |B|^2$，从而导出紧致性。
• 在特征值估计中使用反证法：假设 $\lambda_1 < 1/4$，则推导出 $\int |\overline{\nabla}^2 f|^2 \rho + \int |\overline{\nabla} f|^2 \rho$ 的下界在 $R \to \infty$ 时发散，与有限性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 完备非紧致自缩子在 $\mathbb{R}^{n+m}$ 中的最优体积增长速率是什么？
• RQ2 能否为紧致自缩子上 $\iota$-算子的首特征值建立精确下界？
• RQ3 对 $\mathbb{R}^3$ 中具有有界亏格与直径的嵌入自缩子类，$\iota$-算子的首特征值估计是否蕴含紧致性？
• RQ4 在紧致情形下，$\mathcal{L}$-特征值如何与亏格和直径等几何不变量关联？
• RQ5 特征值估计能否用于通过 Gauss-Bonnet 公式控制第二基本形式的 $L^2$-范数？

主要发现

• 任何完备非紧致且适当浸入的自缩子在 $\mathbb{R}^{n+m}$ 中，其体积增长至多为欧氏空间的量级。
• 在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中紧致嵌入的自缩子上，$\iota$-算子的首特征值 $\lambda_1$ 满足 $\lambda_1 \in [1/4, 1/2]$。
• 对任意 $\mathbb{R}^3$ 中亏格为 $g$ 的紧致嵌入自缩子，其加权体积满足 $\int_M e^{-|X|^2/4} d\mu \leq 32\pi(1+g)$。
• 其内在体积增长满足：对所有 $r \geq 1$，有 $\int_{D_r} d\mu \leq 32e^{1/4}\pi(1+g)r^2$。
• 对 $\mathbb{R}^3$ 中亏格 $\leq g$ 且直径 $\leq D$ 的紧致嵌入自缩子空间 $S_{g,D}$，其第二基本形式 $|B|^2$ 的 $L^2$-范数有统一有界性。
• 紧致性定理成立：在给定的亏格与直径界下，空间 $S_{g,D}$ 在任意 $k \geq 2$ 的 $C^k$ 拓扑下是预紧的。