[论文解读] Volume of representation varieties

Motohico Mulase, Michael Penkava|ArXiv.org|Dec 1, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 41被引用 9

一句话总结

本文引入了有限生成群到紧致李群的表示簇的体积不变量，通过群表示的前推测度定义。证明了该体积在 Andrews-Curtis 变换下不变，且当生成元与关系数之差固定时，与具体表示无关。关键结果利用不可约表示计算了曲面群的体积，对于半单李群，其结果与 Witten 和 Liu 的工作一致，仅相差一个常数因子。

ABSTRACT

We introduce the notion of volume of the representation variety of a finitely presented discrete group in a compact Lie group using the push-forward measure associated to a map defined by a presentation of the discrete group. We show that the volume thus defined is invariant under the Andrews-Curtis moves of the generators and relators of the discrete group, and moreover, that it is actually independent of the choice of presentation if the difference of the number of generators and the number of relators remains the same. We then calculate the volume of the representation variety of a surface group in an arbitrary compact Lie group using the classical technique of Frobenius and Schur on finite groups. Our formulas recover the results of Witten and Liu on the symplectic volume and the Reidemeister torsion of the moduli space of flat G-connections on a surface up to a constant factor when the Lie group G is semisimple.

研究动机与目标

• 为有限生成离散群在紧致李群中的表示簇定义体积不变量。
• 建立该体积在群表示的 Andrews-Curtis 变换下的不变性。
• 证明该体积仅依赖于生成元数与关系数之差，而与具体表示无关。
• 利用 Frobenius-Schur 技巧和不可约表示，计算曲面群表示簇的体积。
• 在半单李群情形下，将体积与辛体积及 Reidemeister torsion 联系起来，恢复已知结果，仅相差一个常数因子。

提出的方法

• 通过从群积 $G^k$ 到 $G^r$ 的表示映射诱导的前推测度，将表示簇 $\mathrm{Hom}(\Pi, G)$ 的体积定义为关系映射下单位元的原像。
• 应用紧致李群的调和分析与表示理论技术，特别是 Peter-Weyl 定理与特征理论。
• 利用 Frobenius-Schur 指标对不可约表示进行分类，分为实型、复型与四元数型，这对非可定向曲面至关重要。
• 通过紧致李群不可约表示 $\lambda \in \hat{G}$ 的求和，推导出体积的显式公式，其中包含项 $ (\dim \lambda)^{\chi(S)} $，$\chi(S)$ 为欧拉示性数。
• 利用曲面的胞腔分解与图式展开（费曼图），将体积与李群流形上的积分联系起来。
• 依赖于有限群情形下公式退化为 Frobenius-Schur 与 Mednykh 的经典结果，并通过极限或对偶性论证将其推广至紧致李群。

实验结果

研究问题

• RQ1 表示簇 $\mathrm{Hom}(\Pi, G)$ 的体积是否在群表示改变下不变，特别是 Andrews-Curtis 变换下？
• RQ2 体积是否仅依赖于生成元与关系数之差 $k - r$，而与具体表示无关？
• RQ3 曲面群表示簇的体积能否用 $G$ 的不可约表示表示？
• RQ4 曲面群体积公式与辛体积及 Reidemeister torsion 等已知不变量有何关系？
• RQ5 能否通过费曼图展开在无穷维群代数上一致地定义体积？

主要发现

• 表示簇的体积在 Andrews-Curtis 变换下不变，确保了同一群不同表示下的一致性。
• 体积仅依赖于生成元数与关系数之差 $k - r$，而与具体表示无关。
• 对于亏格 $g \geq 2$ 的可定向曲面，体积为 $ |G|^{\chi(S)-1} \sum_{\lambda \in \hat{G}} (\dim \lambda)^{\chi(S)} $，其中 $\chi(S) = 2 - 2g$。
• 对于非可定向曲面，体积为 $ |G|^{\chi(S)-1} \left( \sum_{\lambda \in \hat{G}_1} (\dim \lambda)^{\chi(S)} + \sum_{\lambda \in \hat{G}_4} (-\dim \lambda)^{\chi(S)} \right) $，需满足收敛条件。
• 公式在半单紧致李群情形下，恢复了 Witten 与 Liu 关于辛体积与 Reidemeister torsion 的结果，仅相差一个常数因子。
• 通过前推测度定义的体积提供了一致的、与表示无关的不变量，将经典有限群公式推广至紧致李群。