[论文解读] Volume Preserving Diffeomorphisms with Weak and Limit Weak Shadowing

Manseob Lee|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 7

一句话总结

该论文建立了在闭合 $C^∞$ 二维流形上体积保持微分同胚的 $C^1$-内部弱跟踪性质、$C^1$-内部极限弱跟踪性质与Anosov条件之间的等价性。通过使用法向双曲性与跟踪技术，证明了此类微分同胚是Anosov的充分必要条件是其属于弱跟踪或极限弱跟踪集合的 $C^1$-内部，从而解决了光滑动力系统中关于稳定性与结构特征刻画的一个关键问题。

ABSTRACT

Let f be a volume-preserving diffeomorphism of a closed C1 n-dimensional Riemannian manifold M: In this paper, we prove the equivalence between the following conditions: (a) f belongs to the C1-interior of the set of volume-preserving diffeomorphisms which satisfy the weak shadowing property, (b) f belongs to the C1-interior of the set of volume-preserving diffeomorphisms which satisfy the limit weak shadowing property, (c) f is Anosov.

研究动机与目标

• 以结构稳定性的角度刻画具有弱跟踪性质的体积保持微分同胚的 $C^1$-内部。
• 研究 $C^1$-内部极限弱跟踪性质是否蕴含Axiom A与无环条件。
• 在闭合二维流形上建立 $C^1$-内部弱跟踪、$C^1$-内部极限弱跟踪与Anosov性质之间的等价性。
• 解决 $C^1$-内部极限弱跟踪是否蕴含强横截性的问题，证明其并不蕴含。

提出的方法

• 通过轨道 $\epsilon$-邻域定义极限伪轨道与弱跟踪，从而引入极限弱跟踪性质。
• 应用法向双曲性理论分析不变子流形（弧或圆盘）上的跟踪行为。
• 通过在法向双曲不变集上构造特定的 $\delta$-极限伪轨道，采用反证法进行论证。
• 利用 $C^1$-扰动技术证明：在极限弱跟踪条件下，非双曲周期点将导致矛盾。
• 利用 $f$ 在 $\Lambda$ 上具有极限弱跟踪性质当且仅当对所有 $n \in \mathbb{Z}$，$f^n$ 也具有该性质的性质，将问题约化为周期点分析。
• 应用Sakai等人关于 $\Omega$-稳定性和跟踪性质的结果，将结构特性与内部跟踪条件联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维流形上，具有弱跟踪性质的体积保持微分同胚的 $C^1$-内部是否蕴含Anosov条件？
• RQ2 在闭合二维流形上，体积保持微分同胚的 $C^1$-内部极限弱跟踪性质是否与Anosov条件等价？
• RQ3 是否存在一个位于 $C^1$-内部极限弱跟踪集中的微分同胚，其不满足强横截性条件？
• RQ4 在法向双曲子流形上，极限弱跟踪性质是否强制该子流形上的动力系统非平凡？
• RQ5 对于体积保持系统，$C^1$-内部弱跟踪与 $C^1$-内部极限弱跟踪之间存在何种关系？

主要发现

• 在闭合二维流形上，具有弱跟踪性质的体积保持微分同胚的 $C^1$-内部与Anosov条件等价。
• 在闭合二维流形上，具有极限弱跟踪性质的体积保持微分同胚的 $C^1$-内部也与Anosov条件等价。
• 位于 $C^1$-内部极限弱跟踪集中的微分同胚的每一个周期点都必须是双曲的。
• 在法向双曲弧或圆盘上，极限弱跟踪性质意味着映射在该子流形上不是恒等映射。
• 存在位于 $C^1$-内部极限弱跟踪集中的微分同胚，其满足Axiom A与无环条件，但不满足强横截性条件。
• $C^1$-内部弱跟踪性质蕴含 $\Omega$-稳定性，因此对闭合二维流形上的 $C^1$ 体积保持微分同胚而言，也蕴含Axiom A与无环条件。