[论文解读] Volume product of planar polar convex bodies --- lower estimates with stability

Károly J. Böröczky, Endre Makai+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文建立了平面凸体在平面中体积积 |K|·|K*| 的精确下界，并在 Banach-Mazur 距离下提供了稳定性估计。证明表明：对于中心对称体，该积至少为 8（当且仅当为平行四边形时取等）；对于重心位于原点的三角形，该积至少为 27/4；对于 n 重对称体，该积至少为 n²sin²(π/n)，当且仅当为正 n 边形时取等。文中还提供了稳定性结果，表明当凸体接近极值形状（如平行四边形、三角形或正 n 边形）时，这些下界仅在常数因子范围内成立。

ABSTRACT

Let $K \subset {\mathbb R}^2$ be an $o$-symmetric convex body, and $K^*$ its polar body. Then we have $|K|\cdot |K^*| \ge 8$, with equality if and only if $K$ is a parallelogram. ($| \cdot |$ denotes volume). If $K \subset {\mathbb R}^2$ is a convex body, with $o \in { ext{int}}\,K$, then $|K|\cdot |K^*| \ge 27/4$, with equality if and only if $K$ is a triangle and $o$ is its centroid. If $K \subset {\mathbb R}^2$ is a convex body, then we have $|K| \cdot |[(K-K)/2)]^* | \ge 6$, with equality if and only if $K$ is a triangle. These theorems are due to Mahler and Reisner, Mahler and Meyer, and to Eggleston, respectively. We show an analogous theorem: if $K$ has $n$-fold rotational symmetry about $o$, then $|K|\cdot |K^*| \ge n^2 \sin ^2 ( π/n)$, with equality if and only if $K$ is a regular $n$-gon of centre $o$. We will also give stability variants of these four inequalities, both for the body, and for the centre of polarity. For this we use the Banach-Mazur distance (from parallelograms, or triangles), or its analogue with similar copies rather than affine transforms (from regular $n$-gons), respectively. The stability variants are sharp, up to constant factors. We extend the inequality $|K|\cdot |K^*| \ge n^2 \sin ^2 ( π/n)$ to bodies with $o \in { ext{int}}\,K$, which contain, and are contained in, two regular $n$-gons, the vertices of the contained $n$-gon being incident to the sides of the containing $n$-gon. Our key lemma is a stability estimate for the area product of two sectors of convex bodies polar to each other. To several of our statements we give several proofs; in particular, we give a new proof for the theorem of Mahler-Reisner.

研究动机与目标

• 建立在各种对称性与中心条件下的平面凸体体积积 |K|·|K*| 的精确下界。
• 为体积积问题中已知的极值不等式提供稳定性估计，量化凸体需多接近极值形状（如平行四边形、三角形、正 n 边形）时，体积积才能近乎达到最小值。
• 将体积积不等式推广至夹在两个正 n 边形之间的凸体，且满足顶点-边关联关系。
• 通过几何与分析方法，提供新证明，包括对 Mahler–Reisner 不等式的全新证明。

提出的方法

• 使用 Banach-Mazur 距离衡量凸体与极值形状（如平行四边形、三角形、正 n 边形）的接近程度，从而实现稳定性估计。
• 应用 Santaló 点与对偶性理论，将问题转化为对称或归一化设置。
• 运用关于凸体两极扇形面积积的关键稳定性引理。
• 通过将边线平行平移构造嵌套凸体，以生成比较用的三角形或正 n 边形。
• 在参数化凸体族（如 f_t = (g + h)/2）中运用凸性与线性性论证，证明体积积的最小性。
• 改编 [57] 和 [64] 中的技术，推导新证明，包括对 Mahler–Reisner 不等式的全新证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 K 是 R² 中的 o-对称凸体时，体积积 |K|·|K*| 的精确下界是什么？何时取等？
• RQ2 当凸体关于原点具有 n 重旋转对称性时，体积积的行为如何？极值情形是什么？
• RQ3 能否为体积积不等式建立稳定性估计，量化凸体需多接近极值形状（如平行四边形、三角形）时，体积积才能近乎达到最小值？
• RQ4 当凸体 K 包含一个正 n 边形且被其位似形包含，且内接正 n 边形的顶点位于外接正 n 边形的边上时，体积积的下界是什么？
• RQ5 能否使用几何与分析方法，为 Mahler–Reisner 不等式提供新证明？

主要发现

• 对于 R² 中任意 o-对称凸体 K，有 |K|·|K*| ≥ 8，且当且仅当 K 为平行四边形时取等。
• 对于满足 o 在其内部且 o 为重心的凸体 K，有 |K|·|K*| ≥ 27/4，且当且仅当 K 为三角形时取等。
• 若 K 关于 o 具有 n 重旋转对称性，则 |K|·|K*| ≥ n²sin²(π/n)，且当且仅当 K 为正 n 边形时取等。
• 建立了稳定性估计：若 K 与平行四边形（或三角形）的 Banach-Mazur 距离较小，则体积积与最小值的偏离仅在常数因子范围内。
• 对于夹在两个正 n 边形之间的凸体 K（内接正 n 边形的顶点位于外接正 n 边形的边上），有 |K|·|[(K−K)/2]*| ≥ 6，且当且仅当 K 为三角形时取等。
• 通过参数化凸体族与体积积倒数的凸性，给出了 Mahler–Reisner 不等式的全新证明。