[论文解读] Volumes of Nonnegative Polynomials, Sums of Squares and Powers of Linear Forms

Grigoriy Blekherman|ArXiv.org|Feb 10, 2004

Mathematical Approximation and Integration参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文量化了在固定次数 $2k > 2$ 时，$n$ 个变量中非负齐次多项式锥、平方和锥以及线性形式的 $2k$ 次幂之和锥之间的渐近体积比。通过在单位球面上对这些锥进行 $L^2$-范数截面（即积分），本文表明当 $n \to \infty$ 时，这些体积比分别按 $n^{-1/2}$、$n^{-k/2}$ 和 $n^{-k+1/2}$ 的速率缩放，揭示了随着 $n$ 增大，这些锥的大小差异显著加剧，意味着非负多项式远多于平方和，而平方和又远多于线性形式的 $2k$ 次幂之和。

ABSTRACT

We study the quantitative relationship between the cones of nonnegative polynomials, cones of sums of squares and cones of sums of powers of linear forms. We derive bounds on the volumes (raised to the power reciprocal to the ambient dimension) of compact sections of the three cones. We show that the bounds are asymptotically exact if the degree is fixed and number of variables tends to infinity. When the degree is larger than two it follows that there are significantly more non-negative polynomials than sums of squares and there are significantly more sums of squares than sums of powers of linear forms. Moreover, we quantify the exact discrepancy between the cones; from our bounds it follows that the discrepancy grows as the number of variables increases.

研究动机与目标

• 量化齐次多项式空间中三个嵌套凸锥——非负多项式、平方和、线性形式的 $2k$ 次幂之和——的相对大小。
• 理解这些锥的大小在固定次数 $2k > 2$ 时对变量数 $n$ 的渐近度量依赖关系。
• 通过自然的 $L^2$-范数超平面截面，建立这些锥的紧致截面的精确体积界（至多常数因子）。
• 证明这些锥之间的差异随 $n$ 显著增长，意味着非负性检测无法被平方和检测高效替代。

提出的方法

• 通过将各锥与单位球面 $S^{n-1}$ 上积分为 1 的形式的仿射超平面相交，再平移至 $M_{n,2k}$（即积分为零的形式的线性超平面），定义紧致凸体 $\widetilde{C}$、$\widetilde{Sq}$ 和 $\widetilde{Lf}$。
• 在 $P_{n,2k}$ 上使用 $L^2$ 内积 $\langle f,g \rangle = \int_{S^{n-1}} fg \, d\sigma$ 作为欧氏度量，并将体积相对于 $M_{n,2k}$ 中的单位球 $B_M$ 进行归一化。
• 应用 Blaschke-Santaló 不等式，将凸体的体积与其极体的体积关联，从而实现体积比的估计。
• 利用对偶性：在微分度量下，线性形式的 $2k$ 次幂之和锥与非负多项式锥对偶，并通过恒等式 $\langle f, v^{2k} \rangle_D = (2k)! f(v)$ 将其与积分度量关联。
• 利用已知的关于平方和锥及其对偶锥上恒等算子的 $L^2$-范数的界，推导出体积的上下界。
• 应用引理 6.2，利用 $r^{2k}$ 位于所有三个锥的内部这一事实，将微分度量下的对偶锥体积与积分度量下的体积关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定次数 $2k > 2$，非负多项式锥、平方和锥以及线性形式的 $2k$ 次幂之和锥的相对体积如何随变量数 $n$ 变化？
• RQ2 当 $n \to \infty$ 时，这些锥之间的体积比是否渐近紧致？若是，其数量级的精确阶为何？
• RQ3 非负多项式与平方和之间的锥之间差异能否被量化，以反映将非负性检测替换为平方和检测在计算上不可行？
• RQ4 选择度量（如球面上的 $L^2$）在定义这些锥的自然、旋转不变的截面以进行体积比较中起什么作用？
• RQ5 体积比如何依赖于次数 $2k$？当 $k$ 固定而 $n$ 增大时，情况如何？

主要发现

• 非负多项式锥截面的归一化体积满足 $\big(\text{Vol}\,\widetilde{C}/\text{Vol}\,B_M\big)^{1/D_M} \asymp n^{-1/2}$，其中常数仅依赖于 $k$。
• 平方和锥截面的归一化体积满足 $\big(\text{Vol}\,\widetilde{Sq}/\text{Vol}\,B_M\big)^{1/D_M} \asymp n^{-k/2}$，当 $k > 1$ 时，其衰减速率远快于非负多项式锥。
• 线性形式的 $2k$ 次幂之和锥截面的归一化体积满足 $\big(\text{Vol}\,\widetilde{Lf}/\text{Vol}\,B_M\big)^{1/D_M} \asymp n^{-k+1/2}$，表明当 $k > 1$ 时，其衰减速率慢于平方和锥但快于非负多项式锥。
• 对于固定的 $k$，当 $n \to \infty$ 时，这些界是渐近紧致的，意味着体积衰减的数量级是精确的。
• 锥之间的差异随 $n$ 显著增长，意味着当 $n$ 较大时，非负多项式集合的大小相对于平方和集合呈指数级增长，而平方和集合又相对于线性形式的 $2k$ 次幂之和集合呈指数级增长。
• 结果表明，对于次数 >2 的情况，一般情况下用平方和检测替代非负性检测在计算上是不可行的，原因在于这些锥之间存在巨大的大小差异。