[论文解读] Von Neumann categories and extended $L^2$ cohomology

Michael Färber|ArXiv.org|Oct 26, 1996

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文引入冯·诺伊曼范畴作为框架，以推广$L^2$上同调，并定义取值于阿贝尔扩张的扩展同调与上同调理论。通过这些范畴上的迹，建立了数值不变量——冯·诺伊曼维数与局部诺维科夫–舒宾数，并通过挠对象的除子结构实现几何解释，尤其在实解析情形及映射环面中表现显著。

ABSTRACT

In this paper we suggest a new general formalism for studying the invariants of polyhedra and manifolds comming from the theory of von Neumann algebras. First, we examine generality in which one may apply the construction of the extended abelian category, which was suggested in the previous publications of the author, using the ideas of P.Freyd. This leads to the notions of a finite von Neumann category and of a trace on such category. Given a finite von Neumann category, we study the extended homology and cohomology theories with values in the abelian extension. Any trace on the initial category produces numerical invariants - the von Neumann dimension and the Novikov - Shubin numbers. Thus, we obtain the local versions of the Novikov - Shubin invariants, localized at different traces. In the "abelian" case this localization can be made more geometric: we show that any torsion object determines a "divisor" -- a closed subspace of the space of the parameters. The divisors of torsion objects together with the information produced by the local Novikov - Shubin invariants may be used to study multiplicities of intersections of algebraic and analytic varieties (we discuss here only simple examples demonstrating this possibility). We compute explicitly the divisors and the von Neumann dimensions of the extended cohomology in the real analytic situation. We also give general formulae for the extended cohomology of a mapping torus. Finally, we show how one can define a De Rham version of the extended cohomology and prove a De Rham type theorem.

研究动机与目标

• 使用冯·诺伊曼范畴与阿贝尔扩张发展$L^2$-不变量的一般形式化框架。
• 在有限冯·诺伊曼范畴内定义扩展同调与上同调理论。
• 通过这些范畴上的迹，将数值不变量——冯·诺伊曼维数与局部诺维科夫–舒宾数——关联起来。
• 通过迹参数空间中的除子，将扩展范畴中的挠对象几何化，从而实现交点重数分析。
• 在实解析情形下，为扩展上同调建立德雷姆型定理。

提出的方法

• 利用局部化与理想的形式化，构造有限冯·诺伊曼范畴的阿贝尔扩张。
• 在范畴上定义迹，以诱导扩展上同调群的冯·诺伊曼维数与诺维科夫–舒宾不变量。
• 将扩展范畴中的挠对象表征为迹参数空间中的闭子空间（除子）。
• 将形式化应用于实解析流形，显式计算除子与冯·诺伊曼维数。
• 利用范畴论框架，推导映射环面上扩展上同调的一般公式。
• 引入扩展上同调的德雷姆版本，并在实解析设定下证明德雷姆同构定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用冯·诺伊曼代数在范畴框架下形式化扩展的$L^2$上同调？
• RQ2 在有限冯·诺伊曼范畴上迹产生哪些数值不变量，它们与局部不变量有何关联？
• RQ3 如何通过迹参数空间中的除子，几何化扩展范畴中挠对象的解释？
• RQ4 在实解析设定下，扩展上同调与冯·诺伊曼维数的显式表达式是什么？
• RQ5 能否在实解析范畴中为扩展上同调建立德雷姆型定理？

主要发现

• 在实解析设定下，扩展上同调群可显式计算其冯·诺伊曼维数与除子。
• 扩展范畴中的挠对象对应于迹空间中的闭子空间（除子），提供了几何解释。
• 局部诺维科夫–舒宾不变量在每个迹处定义，从而产生经典不变量的局部化版本。
• 利用范畴框架推导出映射环面上扩展上同调的一般公式。
• 在实解析情形下，为扩展上同调证明了德雷姆同构定理，将其与微分形式联系起来。
• 该形式化允许通过除子与不变量数据研究代数与解析簇的交点重数。