[论文解读] Von Neumann equivalence and properly proximal groups

Ishan Ishan, Jesse Peterson+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文引入冯·诺伊曼等价性，这是一种比测度等价性和 $W^{*}$-等价性更粗糙的等价关系，并证明了诸如可约性、(T) 性质、哈格尔普性质以及恰当逼近性等分析性质在该等价关系下保持不变。本文证明了恰当逼近性在测度等价性和 $W^{*}$-等价性下也保持不变，从而得到了新的非内自同构不变的群的例子，这些群并非恰当逼近的。

ABSTRACT

We introduce a new equivalence relation on groups, which we call von Neumann equivalence, that is coarser than both measure equivalence and $W^*$-equivalence. We introduce a general procedure for inducing actions in this setting and use this to show that many analytic properties, such as amenability, property (T), and the Haagerup property, are preserved under von Neumann equivalence. We also show that proper proximality, which was defined recently by Boutonnet, Ioana, and the second author using dynamics, is also preserved under von Neumann equivalence. In particular, proper proximality is preserved under both measure equivalence and $W^*$-equivalence, and from this we obtain examples of non-inner amenable groups that are not properly proximal.

研究动机与目标

• 定义一种新的群等价关系——冯·诺伊曼等价性，其比测度等价性和 $W^{*}$-等价性更粗糙。
• 发展一种通用程序，通过冯·诺伊曼等价性诱导作用，实现在群之间传递分析性质。
• 证明最近引入的动力学性质——恰当逼近性，在冯·诺伊曼等价性下保持不变。
• 证明恰当逼近性在测度等价性和 $W^{*}$-等价性下也保持不变，从而将其不变性推广至更广泛的群类。
• 构造新的非内自同构不变但并非恰当逼近的群的例子，填补了群性质分类中的空白。

提出的方法

• 通过 ME-耦合及其关联的齐默上循环子定义冯·诺伊曼等价性，推广测度等价性。
• 对一个对偶巴拿赫 $Λ$-模 $K$，利用 ME-耦合中的上循环子构造 $L^{∞}(X;K)$ 上的诱导作用。
• 利用诱导作用，将一个群上的恰当逼近点的存在性从一个群传递到另一个群，从而在冯·诺伊曼等价性下保持恰当逼近性。
• 证明来自 ME-耦合的上循环子是恰当的，这对在诱导作用中提升收敛点至关重要。
• 应用命题 A.1 中的不动点积分技术，将 $L^{∞}(X;K)$ 中的 $Γ$-不变点与 $K$ 中的 $Λ$-不变点联系起来。
• 利用诱导作用下收敛点的稳定性，证明恰当逼近性在冯·诺伊曼等价性下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种比测度等价性和 $W^{*}$-等价性都更粗糙的等价关系，同时保持关键分析群性质？
• RQ2 通过在对偶巴拿赫模上的动力学定义的恰当逼近性，是否在冯·诺伊曼等价性下保持不变？
• RQ3 恰当逼近性在冯·诺伊曼等价性下保持不变，是否能推出新的非内自同构不变但并非恰当逼近的群的例子？
• RQ4 能否通过上循环子的诱导作用构造，实现在等价群之间传递收敛点与动力学性质？
• RQ5 诱导作用中收敛点的稳定性与可约性、(T) 性质等分析性质的保持之间有何关系？

主要发现

• 冯·诺伊曼等价性是一种比测度等价性和 $W^{*}$-等价性都更粗糙的等价关系，统一并推广了这两种概念。
• 通过诱导作用构造，证明了可约性、(T) 性质以及哈格尔普性质在冯·诺伊曼等价性下保持不变。
• 通过在 $L^{∞}(X;K)$ 上的诱导作用中提升收敛点，证明了恰当逼近性在冯·诺伊曼等价性下保持不变。
• 当原始作用 $\Lambda{\,→\,}K$ 是恰当逼近的且上循环子是恰当的时，诱导作用 $\Gamma{\,→\,}L^{\u221e}(X;K)$ 保持恰当逼近点的存在性。
• 由于测度等价性和 $W^{*}$-等价性是冯·诺伊曼等价性的特例，因此恰当逼近性在这两种关系下也保持不变。
• 本文构造了新的非内自同构不变但并非恰当逼近的群的例子，填补了群性质分类中的空白。