[论文解读] Von Neumann Regularity, Split Epicness and Elementary Cellular Automata

Ville Salo|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Cellular Automata and Applications参考文献 7被引用 1

一句话总结

本文证明了在混合型有限型子移位（SFT）上的细胞自动机，其冯·诺伊曼正则性等价于在Sofic移位与块映射范畴中，对像的分裂满射性。作者通过结合范畴论方法与计算及人工分析，解决了初等细胞自动机（ECA）正则性的可判定性问题，解决了此前所有未解之例：ECA 6、7、23、33、57 和 77 是正则的；9、27、28、41 和 58 不是正则的，其中为正则规则找到了弱逆，并利用周期为一的最终周期点证明了非正则性。

ABSTRACT

We show that a cellular automaton on a mixing subshift of finite type is a Von Neumann regular element in the semigroup of cellular automata if and only if it is split epic onto its image in the category of sofic shifts and block maps. It follows from [S.-Törmä, 2015] that Von Neumann regularity is decidable condition, and we decide it for all elementary CA.

研究动机与目标

• 确定哪些初等细胞自动机（ECA）是冯·诺伊曼正则的，解决文献[1]中的一个开放问题。
• 在混合型SFT上的细胞自动机范畴中，建立冯·诺伊曼正则性与分裂满射性之间的等价性，该范畴为Sofic移位与块映射。
• 通过结合[8]中的算法方法与人工及计算分析，证明初等细胞自动机的冯·诺伊曼正则性是可判定的。
• 为正则ECA提供显式弱逆，并利用最终周期点证明其余规则的非正则性。

提出的方法

• 在混合型SFT上的细胞自动机范畴K3中，证明冯·诺伊曼正则性与分裂满射性等价，该范畴为Sofic移位与块映射。
• 使用扩张引理表明，任何在CA像上的右逆均可扩展至整个空间，从而实现算法可判定性。
• 应用[8]中的方法来判定分裂满射性，已知该方法对Sofic移位之间的态射是可判定的。
• 使用SAGE进行计算机辅助搜索，以计算ECA的像并验证其像中是否存在禁止模式。
• 通过笔算分析检查[8]中的强周期点条件，特别关注周期为一的点，以反证非正则性。
• 以十六进制表示弱逆，采用“首个适用情形”的规则格式，并以析取范式表示的闭开集形式呈现。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些初等细胞自动机是冯·诺伊曼正则的，特别是解决[1]中未解决的11个案例？
• RQ2 冯·诺伊曼正则性在混合型SFT上的细胞自动机中是否可判定？
• RQ3 在Sofic移位范畴中，对像的分裂满射性是否与这类CA的冯·诺伊曼正则性一致？
• RQ4 能否为正则ECA构造弱逆？此类逆的最小半径或复杂度是多少？
• RQ5 ECA像的哪些结构特性（如SFT与真Sofic）可用于证明非正则性？

主要发现

• ECA 6、7、23、33、57 和 77 是冯·诺伊曼正则的，其弱逆的半径不超过五。
• ECA 9、27、28、41 和 58 不是冯·诺伊曼正则的，这是通过利用周期为一的最终周期点在强周期点条件中引发矛盾所证明的。
• ECA 9、27、28、41 和 58 的像是真Sofic移位，这有助于其非正则性的证明，尽管此特征本身不足以构成充分条件。
• 对于ECA 57，在半径3处的逆构造中发现了矛盾，表明当前半径可能已是最优，但尚未得到严格证实。
• 通过计算机搜索发现ECA 6的逆的十六进制表示具有显著规律性，此前并无此类结构的预期。
• 作者提供了可直接复制粘贴的十六进制与析取范式表示的弱逆，便于人工应用。