[论文解读] VON NEUMANN RHO INVARIANTS AS OBSTRUCTIONS TO TORSION IN THE TOPOLOGICAL KNOT CONCORDANCE GROUP

Christopher William Davis|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文引入了一类无限的可解冯·诺伊曼 ρ-不变量，这些不变量可作为拓扑扭结平痕群中挠元的障碍。通过证明这些不变量在由非各向同性扭结生成的子群上是良定义的，作者表明计算其中任意一个不变量即可证明某扭结具有无限阶。此外，他们利用这些不变量的可计算上界，显式构造出一个线性无关的无限扭结集，每个扭结的代数阶均为 2。

ABSTRACT

Abstract. We discuss an infinite class of metabelian Von Neumann ρ-invariants. Each one is a homomorphism from the monoid of knots to R. In general they are not well defined on the concordance group. Nonetheless, we show that they pass to well defined homomorphisms from the subgroup of the concordance group generated by anisotropic knots. Thus, the computation of even one of these invariants can be used to conclude that a knot is of infinite order. We introduce a method to give a computable bound on these ρ-invariants. Finally we compute this bound to get a new and explicit infinite set of twist knots which is linearly independent in the concordance group and whose every member is of algebraic order 2. 1.

研究动机与目标

• 研究可解冯·诺伊曼 ρ-不变量在扭结平痕上下文中的行为，特别是其在检测非挠元方面的适用性。
• 确定这些 ρ-不变量在什么条件下在平痕群上是良定义的，尤其与非各向同性扭结的关系。
• 开发一种可计算的上界方法以限制这些 ρ-不变量，从而实现显式计算。
• 将该上界应用于构造一个在平痕群中线性无关且代数阶为 2 的显式无限扭结族。

提出的方法

• 作者将一类无限的可解冯·诺伊曼 ρ-不变量定义为从扭结幺半群到实数的同态。
• 他们证明这些不变量可下降为在平痕群中由非各向同性扭结生成的子群上的良定义同态。
• 提出一种新颖的方法，利用冯·诺伊曼代数与扭结理论中的代数与解析技术，计算这些 ρ-不变量的有效上界。
• 将该上界应用于一族扭结，使得不变量的显式计算和线性无关性的验证成为可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，可解冯·诺伊曼 ρ-不变量在平痕群上是良定义的？
• RQ2 这些 ρ-不变量能否用于检测拓扑平痕群中具有无限阶的扭结？
• RQ3 是否存在一种可计算的上界，使得这些 ρ-不变量的显式计算成为可能？
• RQ4 该上界能否用于构造一个代数阶为 2 的无限线性无关扭结集？

主要发现

• 这些 ρ-不变量在由非各向同性扭结生成的平痕群子群上是良定义的，使其可作为挠元的障碍。
• 计算单个 ρ-不变量即可证明某扭结在拓扑平痕群中具有无限阶。
• 为 ρ-不变量推导出一个可计算的上界，使得显式计算成为可行。
• 显式构造出一个在平痕群中线性无关的无限扭结集。
• 该无限集中每个成员均被证明具有代数阶 2。
• 该构造表明，通过具体且可计算的例子，ρ-不变量能够检测平痕群中的非挠元。