[论文解读] Voronoi summation for ${ m GL}_n$: collusion between level and modulus

Andrew Corbett|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文在 $n \geq 2$ 的情形下，建立了 $Γν$-自守形式在水平层次上的最一般 Vorono"{i} 求和公式，解决了水平与模数在素数处联合分歧这一长期存在的难题。该工作通过从局部 $L$-函数的函数方程导出的新颖 $p$-进贝塞尔变换，扩展了 Ichino–Templier 的先前成果，实现了对算术级数中傅里叶系数及具有相消性质的对偶求和的精确控制。

ABSTRACT

We investigate the Voronoi summation problem for ${ m GL}_n$ in the level aspect for $n\geq 2$. Of particular interest are those primes at which the level and modulus are jointly ramified - a common occurrence in analytic number theory when using techniques such as the Petersson trace formula. Building on previous legacies, our formula stands as the most general of its kind; in particular we extend the results of Ichino-Templier. We also give (classical) refinements of our formula and study the $p$-adic generalisations of the Hankel transform.

研究动机与目标

• 解决在水平与模数于素数处联合分歧时，$Γν$ 在水平层次上缺乏一般 Vorono"{i} 求和公式的长期问题。
• 通过构造对所有 $n \geq 2$ 和任意水平 $N$ 均成立的完全一般公式，扩展 Ichino–Templier 的结果。
• 提供求和公式的经典改进，包括简化贝塞尔变换的测试向量选择，以及适用于算术级数的公式表述。
• 通过 $Γν \times \u0393Δ$ $L$-函数的局部函数方程，发展 $p$-进版的汉克尔变换。
• 通过局部分析对偶项分量 $\mathcal{B}_{\pi_p, \Phi_p^{a/\ell q}}(\gamma)$，克服 $n > 2$ 时缺乏 Atkin–Lehner 理论的障碍。

提出的方法

• 利用 Whittaker 模型和所有素点（包括 $p$-进素点）的局部函数方程，推导出 $\u0393ν$-自守形式的一般 Vorono"{i} 求和公式。
• 从水平 $N$ 的素数整除处的 $\u0393ν \times \u0393Δ$ $L$-函数的局部函数方程，构造出 $p$-进贝塞尔变换，从而实现对联合分歧的控制。
• 应用中国剩余定理与归纳变量替换，将超 Kloosterman 和展开为具有显式指数项的经典 Kloosterman 和。
• 引入一种优化的测试向量选择，简化贝塞尔变换，并实现算术级数中求和的清晰表述。
• 利用 $p$-进变换分析对偶和，通过局部分量 $\mathcal{B}_{\pi_p, \Phi_p^{a/\ell q}}(\gamma)$ 确保其仅在 $\gamma_0$ 属于特定有理格点时非零。
• 建立原始和关于 $m$ 与对偶和关于 $d_{n-1}, \dots, d_2, m$ 之间的精确对偶关系，其中系数包含 $\operatorname{KL}_{n-1}$、$\chi$ 和贝塞尔变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 当水平与模数在素数处联合分歧时，如何将 $\u0393ν$ 的 Vorono"{i} 求和公式扩展至完整的水平层次？
• RQ2 当水平与模数均在 $p$-进情形下分歧时，贝塞尔变换的结构是怎样的？
• RQ3 一般公式能否被改进为具有显式测试向量与算术级数求和的古典形式？
• RQ4 在联合分歧下，局部分量 $\mathcal{B}_{\pi_p, \Phi_p^{a/\ell q}}(\gamma)$ 的行为如何？它们对对偶和施加了何种限制？
• RQ5 原始和关于 $m$ 与对偶和关于 $d_{n-1}, \dots, d_2, m$ 之间，就 Kloosterman 和与贝塞尔变换而言，其精确关系为何？

主要发现

• 本文建立了定理 1.1，即对所有 $n \geq 2$、任意水平 $N$ 与模数 $M$，在水平层次上 $Γν$-自守形式的完全一般 Vorono"{i} 求和公式，且在素数处允许联合分歧。
• 对偶和表示为对满足 $\gcd(m, MN) = 1$ 的 $m$ 的求和，涉及一个经典 Kloosterman 和 $\operatorname{KL}_{n-1}(\bar{a}\ell\gamma_0, m; q, c, d)$，其中 $a\bar{a} \equiv 1 \pmod{q}$。
• 贝塞尔变换通过从局部函数方程导出的 $p$-进推广显式计算得出，得到涉及 $\mathcal{B}_{\pi_p, \Phi_p^{a/\ell q}}(\gamma)$ 的精确表达式，其中 $p \mid MN$。
• 一个经典改进（推论 1.4）为特定测试向量选择提供了简化后的贝塞尔变换，使得傅里叶系数的分析更为清晰。
• 第二个改进（推论 1.6）将求和公式化为算术级数形式，其中对偶和的索引满足 $m \equiv 1 \pmod{N}$ 且 $\gcd(m, MN) = 1$，并涉及一个特征扭因子 $\chi(\bar{m} \cdot \text{denom})^{-1}$。
• 最终公式（公式 41）将原始和表示为对 $m$、$r$、$d_{n-1}, \dots, d_2$ 的对偶和，其中对偶项分量包含 $\operatorname{KL}_{n-1}$、$\chi$ 和贝塞尔变换，且 $\lambda_\ell = [\ell, N]\ell^{n-1}L^n$，$L$ 为 $MN$ 的最大无平方因子。