[论文解读] Vortex annihilation and inverse cascades in two dimensional superfluid turbulence

Paul M. Chesler, Andrew Lucas|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Meteorological Phenomena and Simulations被引用 4

一句话总结

本文在稀疏涡旋极限下，采用有效场论方法研究了二维超流湍流中的涡旋动力学。结果表明，在反向级联态（Kolmogorov $k^{-5/3}$ 能量谱）中，涡旋湮灭速率满足 $\dot{N} \sim -N^{5/3}$，而在层流中则满足 $\dot{N} \sim -N^2$，这为通过涡旋数衰减速率识别反向级联提供了明确的实验特征。

ABSTRACT

We study two dimensional superfluid turbulence by employing an effective description valid in the limit where the density of superfluid vortices is parametrically small. At sufficiently low temperatures the effective description yields an inverse cascade with Kolmogorov energy spectrum $E(k) \sim k^{-5/3}$. Denoting the number of vortices as a function of time by $N(t)$, we find that the vortex annihilation rate scales like $\dot N \sim N^{5/3}$ in states with an inverse cascade and $\dot N \sim N^2$ for laminar flow.

研究动机与目标

• 理解二维超流中湍流态与层流态下涡旋湮灭动力学的差异。
• 确定能量级联方向（反向级联与正向级联）是否在涡旋湮灭速率 $\dot{N}$ 上留下印记。
• 在稀疏涡旋极限（$\lambda \gg \xi$）下，建立包含温度依赖耗散参数 $\hat{\eta}(T)$ 的涡旋动力学有效描述。
• 建立反向级联中 $\omega=0$ 等值线的分形结构与 $\dot{N}$ 的 $N^{5/3}$ 标度之间的定量联系。
• 提供一种可观测、实验可测的特征——涡旋湮灭速率标度——以识别超流湍流中的反向级联。

提出的方法

• 采用有效场论框架，在 $\lambda \to \infty$ 极限下推导涡旋轨迹 $\bm{X}_q(t)$ 的主导阶运动方程。
• 利用动量守恒与伽利略不变性推导涡旋运动方程（式 7），通过参数 $\hat{\eta} = \eta / \rho_s \kappa \Omega$ 引入阻力（$\eta$）与马格努斯力（$\eta'$）。
• 通过流体力学力建模涡旋-涡旋相互作用，稀疏极限下热效应占主导，声子介导的相互作用可忽略。
• 将涡旋湮灭速率 $\dot{N}$ 表示为沿 $\omega=0$ 等值线（满足 $\hat{r} \cdot \bm{J}_{\rm loc} < 0$）的局部涡度流 $\bm{J}_{\rm loc}$ 的积分（式 13）。
• 应用Kolmogorov标度论证，估算 $\oint_C \bm{v} \cdot d\bm{\ell} \sim \varepsilon^{1/3} R^{4/3}$，其中 $\varepsilon \sim \Omega^3 n^2$，从而推导出反向级联态下的 $N^{5/3}$ 标度。
• 通过数值验证 $N^{5/3}$ 标度，并与层流中适用斯托克斯定理的 $N^2$ 标度进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维超流中，具有反向级联的湍流态与层流态下，涡旋湮灭速率 $\dot{N}$ 是否存在差异？
• RQ2 能否将 $\dot{N}$ 的 $N^{5/3}$ 标度作为超流湍流中反向级联存在的诊断指标？
• RQ3 反向级联中 $\omega=0$ 等值线的分形结构如何影响涡旋湮灭速率？
• RQ4 温度依赖参数 $\hat{\eta}(T)$ 在调制涡旋湮灭动力学中起什么作用？
• RQ5 在无宏观团簇的无序涡旋构型下，层流态中 $\dot{N}$ 的 $N^2$ 标度是否依然稳健？

主要发现

• 在具有反向级联的态中，涡旋湮灭速率满足 $\dot{N} \sim -N^{5/3}$，显著快于层流态中的 $N^2$ 标度。
• $N^{5/3}$ 标度源于反向级联中 $\omega=0$ 等值线的分形几何（$D=4/3$），导致轮廓积分中出现非平凡的 $R^{4/3}$ 依赖性。
• 层流态中的 $N^2$ 标度与斯托克斯定理一致，对光滑的 $\omega=0$ 等值线和无序涡旋构型均成立，尽管系数不同。
• 使用 $\hat{\eta}(T)$ 的有效描述能够捕捉耗散的温度依赖性，且 $\hat{\eta} \sim T^2$ 与近期全息和实验结果一致。
• 数值模拟验证了反向级联态中 $N^{5/3}$ 标度与层流态中 $N^2$ 标度，证实了分析框架的有效性。
• $N^{5/3}$ 标度为识别超流湍流中的反向级联提供了明确且实验可测的特征，可能比完整能量谱分析更易测量。