[论文解读] Vortex Nucleation in a Dissipative Variant of the Nonlinear Schrödinger Equation under Rotation

R. Carretero-González, P. G. Kevrekidis+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2014

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文研究了在旋转条件下，耗散型非线性薛定谔方程中的涡旋核过程，表明最不稳定的模态与化学势 $\mu$ 的关系为 $\mu^{2/3}$。通过渐近分析和数值模拟，本文表明旋转不稳定性导致外围涡旋项链的形成，随后发生对称性破缺的模式选择，逐步将少数涡旋引入一个稳定且对称的核心构型，该结果与有限温度玻色-爱斯坦凝聚体相关。

ABSTRACT

In the present work, we motivate and explore the dynamics of a dissipative variant of the nonlinear Schr{ö}dinger equation under the impact of external rotation. As in the well established Hamiltonian case, the rotation gives rise to the formation of vortices. We show, however, that the most unstable mode leading to this instability scales with an appropriate power of the chemical potential $μ$ of the system, increasing proportionally to $μ^{2/3}$. The precise form of the relevant formula, obtained through our asymptotic analysis, provides the most unstable mode as a function of the atomic density and the trap strength. We show how these unstable modes typically nucleate a large number of vortices in the periphery of the atomic cloud. However, through a pattern selection mechanism, prompted by symmetry-breaking, only few isolated vortices are pulled in sequentially from the periphery towards the bulk of the cloud resulting in highly symmetric stable vortex configurations with far fewer vortices than the original unstable mode. These results may be of relevance to the experimentally tractable realm of finite temperature atomic condensates.

研究动机与目标

• 理解在有限温度原子凝聚体背景下，耗散型 Gross-Pitaevskii 方程在旋转条件下的涡旋核动力学。
• 识别驱动涡旋形成的最不稳定模态，并确定其与化学势 $\mu$ 和势阱强度的依赖关系。
• 解释对称性破缺机制如何从大量外围涡旋项链中选择出少数稳定涡旋。
• 将理论预测与实验可实现的参数（如热耦合参数 $\gamma$）联系起来，以用于真实玻色-爱斯坦凝聚体实验的诊断。

提出的方法

• 通过旋转条件下线性化耗散 Gross-Pitaevskii 方程的渐近分析，推导出最不稳定模态，确定其与 $\mu^{2/3}$ 的标度关系。
• 采用微扰方法将特征值问题分解为两个 Sturm-Liouville 算子 $L_1$ 和 $L_2$，并证明二者均为负定。
• 应用 Sturm 的振荡定理与谱分析，建立临界旋转频率 $\Omega_0(m_0)$ 关于角动量量子数 $m_0$ 的函数存在最小值，从而确认不稳定性起始。
• 通过数值模拟追踪从无涡旋态到外围涡旋项链的演化过程，随后观察涡旋向内逐个迁移。
• 采用基于对称性破缺的模式选择机制，解释为何核心中会形成少数稳定且对称的涡旋构型。
• 通过数值计算特征值问题及 $\Omega_0(m_0)$ 的曲线分析验证结果，显示在 $m_0 \to 0^+$ 和 $m_0 \to \infty$ 时出现爆破，证实存在最小值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在耗散性、旋转的非线性薛定谔系统中，驱动涡旋核的最不稳定模态如何随化学势 $\mu$ 变化？
• RQ2 对称性破缺在从大量外围涡旋项链中选择少数稳定涡旋的过程中起什么作用？
• RQ3 热耦合参数 $\gamma$ 如何影响从不稳定涡旋核到稳定涡旋构型的转变？
• RQ4 耗散型 Gross-Pitaevskii 方程能否预测有限温度玻色-爱斯坦凝聚体中可实验观测的涡旋图案？
• RQ5 最终稳定核心构型中的涡旋数目由什么决定？其与 $\gamma$、$\mu$ 和势阱强度的关系如何？

主要发现

• 通过线性化系统的渐近分析，得出涡旋核的最不稳定模态与 $\mu^{2/3}$ 成比例。
• 在旋转条件下，涡旋核导致形成一个大范围的外围涡旋项链，该构型不稳定，易发生对称性破缺。
• 基于对称性破缺的模式选择机制，逐步将外围的少数涡旋引入核心，形成稳定且对称的涡旋构型。
• 最终的稳定构型中涡旋数目远少于初始的不稳定项链，表明存在选择过程而非随机聚集。
• 临界旋转频率 $\Omega_0(m_0)$ 在有限正值 $m_0$ 处存在最小值，证实了主导不稳定模态的存在。
• 数值结果表明，当 $m_0 \to 0^+$ 时 $\Omega_0 \sim 0.397/m_0$，当 $m_0 \to \infty$ 时 $\Omega_0 \sim m_0$，证明了不稳定性曲线中存在最小值。