[论文解读] W-algebras associated to surfaces

Andrei Neguţ|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Black Holes and Theoretical Physics被引用 4

一句话总结

本文在光滑射影曲面 S 上的稳定层模空间的 K-理论上构造了类型 glr 的形变 W-代数的作用，推广了 Nakajima 的上同调构造。通过导出代数几何中的对应关系与双重 shuffle 代数，证明了 W-代数的作用在商代数中因子化，其中度数大于 r 的生成元作用为零，从而通过 K-理论几何表示理论，为任意曲面上的 5d AGT 对应关系提供了数学实现。

ABSTRACT

We define an integral form of the deformed W-algebra of type gl_r, and construct its action on the K-theory groups of moduli spaces of rank r stable sheaves on a smooth projective surface S, under certain assumptions. Our construction generalizes the action studied by Nakajima, Grojnowski and Baranovsky in cohomology, although the appearance of deformed W-algebras by generators and relations is a new feature. Physically, this action encodes the AGT correspondence for 5d supersymmetric gauge theory on S x circle.

研究动机与目标

• 定义类型 glr 的形变 W-代数 Ar 的整形式，并在光滑射影曲面 S 上的稳定层模空间的 K-理论上构造其作用。
• 将 Nakajima 的 W-代数作用的上同调构造推广到 K-理论设置，特别是针对非 toric 或 A2 情况的任意曲面。
• 通过 K-理论几何表示理论，在 S × S^1 上为秩 r > 1 的规范理论实现 5d AGT 对应关系的数学实现。
• 通过几何与上同调论证，证明 W-代数 Ar 的作用在生成元度数 > r 时为零的商代数中因子化。
• 提供高阶 W-生成元在 K-理论模上消失的几何证明，依赖 Bogomolov 不等式与导出对应关系。

提出的方法

• 在 Z[q₁±¹, q₂±¹] 上定义形变 W-代数 Ar，其生成元为 Wn,k（n ∈ Z，k = 1, ..., r），使用双重 shuffle 代数 A 的完成。
• 通过导出代数几何中的显式对应关系 Z₁ 和 Z•₂，构造双重 shuffle 代数 A 在 K-理论群 KM 上的作用。
• 将双重 shuffle 代数 A 通过完成 bA 提升至 A∞，并证明 A∞ 通过商代数 Ar = A∞ / (Wn,k for k > r) 在 KM 上作用。
• 将对应关系 Z₁ 和 Z•₂ 视为 Nakajima–Grojnowski–Baranovsky 构造中奇点的解析，证明其在假设 S 下为光滑概形。
• 应用公式 (6.18) 将 Wd,k 表示为 T←, T→ 和 E0,k 生成元的表达式，并通过陈类运算与行列式线丛解释其在 KM 上的作用。
• 通过证明残差公式 (6.24) 在 k > r 时为零，从而证明定理 6.9，该证明依赖于在导出纤维积 Wd₁,d₂ 中的消去论证，利用恒等式 Qd₂−1 eL = Qd₂ 与行列式线丛的典范同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 K-理论上层模空间的 W-代数作用从上同调推广到任意光滑射影曲面的 K-理论？
• RQ2 类型 glr 的形变 W-代数是否在曲面 S 上的稳定层模空间 K-理论上作用，且参数 q₁, q₂ 与 Ω¹S 的陈根对应？
• RQ3 为何在 K-理论中 W-生成元 Wn,k 对于 k > r 消失？能否在不假设模的不可约性下进行几何证明？
• RQ4 双重 shuffle 代数 A 在 KM 上的对应关系作用是否良好定义？其是否可延拓至完成代数 bA 与商代数 Ar？
• RQ5 能否通过任意曲面上的 K-理论几何表示理论，数学实现 S × S¹ 上 5d 超对称规范理论的 AGT 对应关系？

主要发现

• 本文在光滑射影曲面 S 上的稳定层模空间 K-理论群 KM 上，构造了形变 W-代数 Ar 的良好定义作用，其中参数 q₁, q₂ 与余切丛 Ω¹S 的陈根对应。
• 该作用通过导出代数几何中的显式对应关系 Z₁ 和 Z•₂ 实现，且在假设 S 下被证明为光滑概形，推广了 Nakajima 的上同调构造。
• 关键结果，定理 6.9，证明了当 k > r 时，W-生成元 Wd,k 在 KM 中消失，这意味着作用在商代数 Ar = A∞ / (Wn,k for k > r) 中因子化，符合 Ar 的定义要求。
• k > r 时的消失性通过导出纤维积 Wd₁,d₂ 中的消去机制建立，其中 (d₁, d₂) 的贡献与 (d₁−1, d₂−1) 的贡献相消，导致 (6.26) 中残差积分消失。
• 当 k = r 时，Wd,r 的作用被证明与算子 (π₁ × πS)∗[(det eU)d₂+1 / ((−1)^r Q^r) · π₂∗] 一致，该算子在标准识别下对应于 A∞ 中的元素 ∑ h−d₁ h d₂，即完全对称函数。
• 该构造在假设 B 下成立，其中包含 KS×S 的 Kunneth 分解与局部自由普遍层的存在性，且对如 P² 的有理曲面成立。