[论文解读] $W(E_8)$-invariant Jacobi forms

Haowu Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 3

一句话总结

该论文证明了所有 $W(E_8)$-不变的Jacobi形式均可唯一地表示为Sakai引入的九个代数独立的全纯Jacobi形式的多项式，其系数为亚纯模形式。此外，该文进一步证明了固定指标的 $W(E_8)$-不变弱Jacobi形式空间构成模形式环上的自由模，并通过显式构造生成元，完全确定了指标小于5时的模结构。

ABSTRACT

We investigate Jacobi forms invariant under the action of the Weyl group of root lattice $E_8$. Such Jacobi forms are called $W(E_8)$-invariant Jacobi forms. We prove that every $W(E_8)$-invariant Jacobi form can be expressed uniquely as a polynomial in nine algebraically independent holomorphic Jacobi forms introduced by Sakai with coefficients which are meromorphic modular forms. The space of $W(E_8)$-invariant weak Jacobi forms of fixed index is a free module over the ring of modular forms. When index is less than $5$, we determine the structure of the corresponding module and construct all generators.

研究动机与目标

• 理解 $E_8$ 根 lattice 的Weyl群 $W(E_8)$ 不变Jacobi形式的代数结构。
• 确定此类 $W(E_8)$-不变Jacobi形式是否可表示为一组有限基本形式的组合。
• 建立固定指标的 $W(E_8)$-不变弱Jacobi形式空间为模形式环上自由模的结论。
• 当指标小于5时，显式构造 $W(E_8)$-不变弱Jacobi形式模的生成元。

提出的方法

• 作者利用 $W(E_8)$ 的作用分析 $E_8$ 根 lattice 上Jacobi形式的对称性质。
• 他们采用Sakai的九个代数独立的全纯Jacobi形式作为 $W(E_8)$-不变Jacobi形式环的生成元集合。
• 证明依赖于表明任意 $W(E_8)$-不变Jacobi形式可唯一地表示为这九个形式的多项式，其系数为亚纯模形式。
• 通过模形式理论及Jacobi形式的分次环结构，分析弱Jacobi形式的模结构。
• 对于指标小于5的情形，作者通过分析空间的维数与对称性约束，显式计算了生成元。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $W(E_8)$-不变Jacobi形式是否均可表示为有限组基本Jacobi形式的多项式，其系数为亚纯模形式？
• RQ2 固定指标的 $W(E_8)$-不变弱Jacobi形式空间是否为模形式环上的自由模？
• RQ3 当指标小于5时，$W(E_8)$-不变弱Jacobi形式模的显式结构是什么？
• RQ4 需要多少个生成元才能张成指标小于5的 $W(E_8)$-不变弱Jacobi形式空间，其显式形式是什么？

主要发现

• 每个 $W(E_8)$-不变Jacobi形式均可唯一地表示为Sakai引入的九个代数独立的全纯Jacobi形式的多项式。
• 该多项式表示中的系数为亚纯模形式。
• 固定指标的 $W(E_8)$-不变弱Jacobi形式空间构成模形式环上的自由模。
• 当指标小于5时，模结构被完全确定，且所有生成元均已显式构造。
• 在低指标范围内，生成元的数量及其次数均被完整刻画，为这些空间提供了完整的基。