[论文解读] $W$-entropy formulas and Langevin deformation of flows on Wasserstein space over Riemannian manifolds

Songzi Li, Xiang‐Dong Li|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 43被引用 5

一句话总结

本文引入了在黎曼流形上 Wasserstein 空间上的 Langevin 变形，该变形在梯度流与测地流之间插值，并沿此变形建立了类似 Perelman 的 $W$-熵公式。本文证明了该变形的存在性、唯一性、正则性及收敛性，并在 $CD(0,m)$-条件下的刚性定理，将熵单调性与凸性结果扩展至更广泛的流类。

ABSTRACT

We introduce Perelman's $W$-entropy and prove the $W$-entropy formula along the geodesic flow on the $L^2$-Wasserstein space over compact Riemannian manifolds equipped with Otto's Riemannian metric, which allows us to recapture a previous result due to Lott and Villani on the displacement convexity of $s{ m Ent}+ns\log s$ on $P^\infty_2(M)$ over Riemannian manifolds with non-negative Ricci curvature. To better understand the similarity between the $W$-entropy formula for the geodesic flow on the Wasserstein space and the $W$-entropy formula for the heat equation of the Witten Laplacian on the underlying manifolds, we introduce the Langevin deformation of flows on the Wasserstein space over Riemannian manifold, which interpolates the gradient flow and the geodesic flow on the Wasserstein space over Riemannian manifolds, and can be regarded as the potential flow of the compressible Euler equation with damping on manifolds. We prove the existence, uniqueness and regularity of the Langevin deformation on the Wasserstein space over the Euclidean space and compact Riemannian manifolds, and prove the convergence of the Langevin deformation for $c ightarrow 0$ and $c ightarrow \infty$ respectively. We prove an analogue of the Perelman type $W$-entropy formula along the Langevin deformation on the Wasserstein space on Riemannian manifolds. A rigidity theorem is proved for the $W$-entropy for the geodesic flow, and a rigidity model is also provided for the Langevin deformation on the Wasserstein space over complete Riemannian manifolds with the $CD(0, m)$-condition.

研究动机与目标

• 将 Perelman 的 $W$-熵框架从 Ricci 流推广至紧黎曼流形上 Wasserstein 空间的测地流。
• 引入并严格分析 Langevin 变形，作为 Wasserstein 空间上梯度流与测地流之间的连续插值。
• 证明在欧氏空间与紧黎曼流形上，Langevin 变形的存在性、唯一性与正则性。
• 建立类似于 Perelman 的 $W$-熵公式于 Langevin 变形之上，并在曲率条件下推导出刚性定理。
• 探讨在具有曲率上界的度量测度空间背景下，$W$-熵单调性与熵泛函位移凸性之间的联系。

提出的方法

• 将 Langevin 变形定义为在 Wasserstein 空间上的流，其在由熵驱动的梯度流与由最优传输驱动的测地流之间插值，受阻尼参数 $c$ 控制。
• 推导出沿 Langevin 流的密度 $ ho(t)$ 的演化方程，涉及 Wasserstein 度量、熵梯度以及与 $1/c^2$ 成比例的阻尼项。
• 应用 Otto 的无限维黎曼几何方法于 $P_2(M)$，利用 $L^2$-Wasserstein 度量与黎曼梯度的 $L^2$-伴随，定义切向量。
• 通过计算玻尔兹曼-香农熵的二阶导数，并借助 $CD(0,m)$-条件将其与曲率关联，建立 Langevin 流上的 $W$-熵公式。
• 利用 $CD(K,m)$-条件与 Bakry-Émery Ricci 曲率，推导出涉及熵、其导数及速度的 Wasserstein 范数的微分不等式。
• 应用最优传输、随机分析与几何分析的技术，证明当 $c \to 0$（梯度流极限）与 $c \to \infty$（测地流极限）时，Langevin 流的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在黎曼流形上 Wasserstein 空间的 Langevin 变形上建立 $W$-熵公式？
• RQ2 Langevin 变形如何在 Wasserstein 空间上插值梯度流与测地流，其动力学性质为何？
• RQ3 当 $c \to 0$ 与 $c \to \infty$ 时，Langevin 流的行为如何，其与已知流的关系为何？
• RQ4 在何种曲率条件下，$W$-熵在 Langevin 变形下保持单调或具有刚性？
• RQ5 能否将 $W$-熵框架推广至具有 RCD$(0,N)$ 或超 Ricci 流结构的度量测度空间？

主要发现

• 在欧氏空间与紧黎曼流形上，Wasserstein 空间上的 Langevin 变形存在、唯一，且在时间上具有 $C^2$-正则性。
• 当 $c \to 0$ 时，Langevin 流收敛于玻尔兹曼-香农熵的梯度流；当 $c \to \infty$ 时，其收敛于 Wasserstein 空间上的测地流。
• 沿 Langevin 变形建立了类似 Perelman 的 $W$-熵公式，涉及熵的二阶导数、速度范数与曲率项。
• $W$-熵在 $CD(0,m)$-条件下被证明是非减的，且在刚性情形下等号成立意味着特定的模型结构。
• 证明了刚性定理：若 $W$-熵在测地流上为常数，则流形必与具有常数密度的欧氏空间等距。
• 导出了熵沿 Langevin 流的类似微分不等式： \\n\frac{d^2}{dt^2} \text{Ent} + \left(2\alpha(t) + \frac{1}{c^2}\right) \frac{d}{dt} \text{Ent} + N\alpha^2(t) + \frac{1}{c^2}\|\nabla \text{Ent}\|^2 \geq \frac{1}{N}|\langle \nabla \text{Ent}, \dot{\rho} \rangle + N\alpha(t)|^2 + K\|\dot{\rho}\|^2 \\n其中 $\alpha(t) = (\log u)'$ 且 $m = N$。