[论文解读] $W^{m,p}$-Solution ($p\geq2$) of Linear Degenerate Backward Stochastic Partial Differential Equations in the Whole Space

Kai Du, Shanjian Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 7

一句话总结

该论文在全空间 $\mathbb{R}^d$ 上建立了线性退化倒向随机偏微分方程（BSPDEs）在 $W^{m,p}$-解空间中的存在性与唯一性（其中 $p \geq 2$ 且 $m \geq 1$），且无需像 Ma 和 Yong 之前所要求的那样对扩散系数 $\sigma$ 施加对称性条件。其关键贡献在于提出了一种新颖的先验估计技术，结合加权 $L^p$-范数与随机分析，从而在一般退化系数下实现了 Sobolev 空间中的正则性结果。

ABSTRACT

In this paper, we consider the backward Cauchy problem of linear degenerate stochastic partial differential equations. We obtain the existence and uniqueness results in Sobolev space $L^p(Ω; C([0,T];W^{m,p}))$ with both $m\geq 1$ and $p\geq 2$ being arbitrary, without imposing the symmetry condition for the coefficient $σ$ of the gradient of the second unknown---which was introduced by Ma and Yong [Prob. Theor. Relat. Fields 113 (1999)] in the case of $p=2$. To illustrate the application, we give a maximum principle for optimal control of degenerate stochastic partial differential equations.

研究动机与目标

• 解决此前在 $W^{m,2}$-正则性下对 $\sigma$ 的对称性条件要求所遗留的退化倒向随机 PDE 求解开放问题。
• 将 BSPDE 的正则性理论扩展至全空间 $\mathbb{R}^d$ 中的 $W^{m,p}$-空间（$p \geq 2$ 且任意 $m \geq 1$）。
• 消除超抛物性假设，并允许在 BSPDE 框架中存在退化扩散系数。
• 通过所获得的正则性结果，为退化 SPDE 的最优控制提供最大值原理。

提出的方法

• 通过截断技术及一系列光滑逼近 $\Psi_M$ 与 $G_{N,p}$，在加权 $L^p$-范数下推导先验估计。
• 对函数 $G_{N,p}(\Psi_M)$ 应用 Itô 公式，其中 $\Psi_M$ 是解的空间导数 $L^p$-范数的截断版本。
• 利用 BDG 不等式与随机分析控制由 Itô 公式引入的鞅项。
• 不对 $\sigma$ 强制施加对称性条件，转而通过精细估计涉及 $\sigma$ 及其导数的非线性项。
• 通过令 $M \to \infty$ 与 $N \to \infty$ 的极限过程，将近似解过渡到 $W^{m,p}$-空间中的实际解。
• 通过 Gronwall 类型的论证及对终端数据与强迫项的 $L^p$-有界性，建立关键估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\sigma$ 无对称性条件的前提下，于 $\mathbb{R}^d$ 中建立退化 BSPDE 的 $W^{m,p}$-解的存在性与唯一性？
• RQ2 当 $p \geq 2$ 且 $m \geq 1$ 时，线性退化 BSPDE 的解可实现何种 $L^p$-正则性？
• RQ3 如何将解理论从 $L^2$ 框架推广至退化情形下的高阶 Sobolev 空间？
• RQ4 能否基于解理论推导出退化 SPDE 最优控制的最大值原理？

主要发现

• 论文在扩散系数 $\sigma$ 的一般退化条件下，证明了在空间 $L^p(\Omega; C([0,T]; W^{m,p}(\mathbb{R}^d)))$ 中解的存在性与唯一性，其中 $p \geq 2$ 且 $m \geq 1$。
• 解满足如下先验 $L^p$-估计：$\mathbb{E} \sup_{t \leq T} \|u(t)\|_{m,p}^p \leq C e^{Cp} \left( \mathbb{E} \|\varphi\|_{m,2p}^{2p} + \mathbb{E} \int_0^T \|f\|_{m,2p}^{2p} ds \right)$，其中常数 $C$ 与 $p$ 无关。
• 此前 Ma 和 Yong 在 $p=2$ 时所要求的 $\sigma$ 对称性条件已被移除，显著扩大了理论的应用范围。
• 该方法不依赖于维度 $d$，且不要求 $\sigma$ 为常数或关于 $x$ 不变。
• 该结果使得可通过伴随 BSPDE 框架推导出退化 SPDE 最优控制的最大值原理。
• 证明依赖于一种新颖的 $L^p$-估计技术，结合加权范数与截断，避免了对随机流方法或对称性的依赖。