[论文解读] W-Markov measures, transfer operators, wavelets and multiresolutions

Daniel Alpay, Palle E. T. Jørgensen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2016

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 34被引用 10

一句话总结

本文建立了正转移算子与马尔可夫过程之间的普遍对偶性，表明任意转移算子 $ R $ 与初始测度 $ \mu_0 $ 均可生成一个 $ W $-马尔可夫过程，而每一个马尔可夫链均可由此类算子导出。其核心贡献在于构建了一个统一框架，将转移算子、小波、多分辨率分析以及迭代函数系统（IFS）联系起来，且 $ R $ 的谱性质可传播至马尔可夫链，基于Solenoid的构造方法在 $ \mathbf{L}_2 $ 空间中产生一致的多分辨率结构。

ABSTRACT

In a general setting we solve the following inverse problem: Given a positive operators $R$, acting on measurable functions on a fixed measure space $(X,\mathcal B_X)$, we construct an associated Markov chain. Specifically, starting with a choice of $R$ (the transfer operator), and a probability measure $μ_0$ on $(X, \mathcal B_X)$, we then build an associated Markov chain $T_0, T_1, T_2,\ldots$, with these random variables (r.v) realized in a suitable probability space $(Ω,\mathcal F, \mathbb P)$, and each r.v. taking values in $X$, and with $T_0$ having the probability $μ_0$ as law. We further show how spectral data for $R$, e.g., the presence of $R$-harmonic functions, propagate to the Markov chain. Conversely, in a general setting, we show that every Markov chain is determined by its transfer operator. In a range of examples we put this correspondence into practical terms: $(i)$ iterated function systems (IFS), $(ii)$ wavelet multiresolution constructions, and $(iii)$ IFSs with random control.

研究动机与目标

• 解决从给定的正转移算子 $ R $ 与初始测度 $ \mu_0 $ 构造马尔可夫过程的逆问题，推广小波与IFS中已知的构造方法。
• 建立双向对应关系：在一般测度论条件下，每个马尔可夫链唯一确定一个转移算子，反之亦然。
• 将小波多分辨率、具有确定性或随机控制的IFS，以及自同态动力学等不同应用统一于基于转移算子的单一框架之下。
• 证明 $ R $ 的谱数据（如调和函数）可传播至马尔可夫过程，从而实现对随机动力系统谱分析的支持。
• 在与自同态相关的Solenoid空间上构造 $ \mathbf{L}_2 $-空间中的多分辨率结构，并证明当自同态为尺度相关时，该结构与基于小波的多分辨率结构等价。

提出的方法

• 将转移算子 $ R $ 定义为 $ (Rf)(x) = \mathbb{E}[f \circ T_{n+1} \mid T_n = x] $，将条件期望与马尔可夫转移动力学联系起来。
• 通过定义 $ T_0 $ 的分布为 $ \mu_0 $，并利用 $ R $ 定义转移核，从 $ R $ 与 $ \mu_0 $ 构造马尔可夫链 $ (T_n) $。
• 利用与自同态 $ \sigma $ 关联的Solenoid空间 $ \mathrm{Sol}_\sigma(X) $ 实现 $ \mathbf{L}_2 $-多分辨率结构，其中尺度层级由 $ \sigma $ 定义。
• 证明若 $ R $ 是 $ \sigma $-齐次的，则在 $ \mathrm{Sol}_\sigma(X) $ 上生成的马尔可夫过程，其多分辨率分析与小波的多分辨率分析同构。
• 将该框架应用于具有常数或状态相关概率 $ p_i(x) $ 的IFS，通过转移算子对小波滤波器与随机控制系统进行建模。
• 利用停止时间公式与鞅理论分析长期行为，表明 $ R $-调和函数生成鞅 $ M_n = h \circ T_n $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用一般的正转移算子 $ R $ 与初始测度 $ \mu_0 $，在测度空间 $ (X, \mathcal{B}_X) $ 上构造一个 $ W $-马尔可夫过程？
• RQ2 马尔可夫链与其关联转移算子之间的精确对应关系是什么？谱数据（如调和函数）如何从 $ R $ 传播至该过程？
• RQ3 对于具有随机控制或可变概率 $ p_i(x) $ 的迭代函数系统（IFS）的转移算子，如何推广标准的小波多分辨率构造？
• RQ4 与自同态 $ \sigma $ 关联的Solenoid构造 $ \mathrm{Sol}_\sigma(X) $ 如何在 $ \mathbf{L}_2 $ 空间中产生多分辨率结构？在何种条件下该结构与基于小波的多分辨率结构一致？
• RQ5 在什么条件下，过程 $ M_n = h \circ T_n $（其中 $ h $ 是 $ R $-调和函数）构成关于 $ (T_n) $ 生成的滤子流的鞅？这与 $ R $ 的谱理论有何关联？

主要发现

• 逆问题已解决：给定任意正转移算子 $ R $ 与初始测度 $ \mu_0 $，可构造一个 $ W $-马尔可夫过程 $ (T_n) $，满足 $ T_0 \sim \mu_0 $，且 $ R $ 决定其转移律。
• 每个马尔可夫链均可由唯一的转移算子 $ R $ 生成，从而在马尔可夫过程与此类算子之间建立了唯一对应关系。
• $ R $-调和函数 $ h $（即满足 $ Rh = h $ 的函数）可生成鞅 $ M_n = h \circ T_n $；更一般地，$ R $ 的特征值为 $ \lambda $ 的特征函数可生成鞅 $ \lambda^{-n} f \circ T_n $。
• 与自同态 $ \sigma $ 关联的Solenoid空间 $ \mathrm{Sol}_\sigma(X) $ 支持 $ \mathbf{L}_2 $ 空间中的多分辨率结构，尺度由 $ \sigma $ 定义，且当 $ \sigma $ 为尺度映射时，该结构与小波多分辨率结构一致。
• 在小波构造中，转移算子 $ R $ 对应于滤波系统的Ruelle算子，且 $ \mathbf{L}_2(\mathrm{Sol}_\sigma(X)) $ 中的多分辨率结构与标准小波多分辨率结构一致。
• 具有状态相关概率 $ p_i(x) $ 的IFS（建模多带小波滤波器）可通过转移算子自然描述，其生成的马尔可夫过程可捕捉小波编码的随机动力学。