[论文解读] W_{N+1}-constraints for singularities of type A_N

Bojko Bakalov, Todor Milanov|ArXiv.org|Nov 12, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文通过构造圆周上微分算子代数在中心荷 $h = N+1$ 下的射影表示，证明了 $A_N$-奇点的总下级生成函数满足 $\mathcal{W}_{N+1}$-约束。利用皮卡德-莱夫谢茨周期与吉文塔尔的辛环路空间形式化方法，作者证明该生成函数是 $\mathcal{W}_{N+1}$ 代数的最高权向量，从而为 $h$-自旋曲线模空间上的交数提供了完整的递推关系集。

ABSTRACT

Using Picard--Lefschetz periods for the singularity of type $A_N$, we construct a projective representation of the Lie algebra of differential operators on the circle with central charge $h:=N+1$. We prove that the total descendant potential $\D_{A_N}$ of $A_N$-singularity is a highest weight vector. It is known that $\D_{A_N}$ can be interpreted as a generating function of a certain class of intersection numbers on the moduli space of $h$-spin curves. In this settings our constraints provide a complete set of recursion relations between the intersection numbers. Our methods are based entirely on the symplectic loop space formalism of A. Givental and therefore they can be applied to the mirror models of symplectic manifolds.

研究动机与目标

• 确定 $A_N$-奇点的总下级生成函数 $\mathcal{D}_{A_N}$ 是否满足超出维拉索罗代数的约束。
• 在 $A_N$-奇点的背景下，将已知的威滕-孔采维奇 $\tau$-函数的维拉索罗约束推广到更大的代数结构。
• 通过圆周上微分算子代数在中心荷 $h = N+1$ 下的射影表示，建立 $\mathcal{D}_{A_N}$ 是 $\mathcal{W}_{N+1}$ 代数的最高权向量。
• 利用 $\mathcal{W}_{N+1}$-约束，为 $h$-自旋曲线模空间上的交数提供一组完整的递推关系。

提出的方法

• 利用 $A_N$-奇点的皮卡德-莱夫谢茨周期，构造了圆周上微分算子代数在中心荷 $h = N+1$ 下的射影表示。
• 应用吉文塔尔的辛环路空间形式化方法，将总下级生成函数 $\mathcal{D}_{A_N}$ 视为 $h$-自旋曲线模空间上交数的生成函数进行分析。
• 利用祖先生成函数理论与单值化周期的理论，分析生成函数及其对数系数的正则性。
• 运用斯托克斯定理与围绕判别集的围线积分，证明某些积分为单值且为常数，从而推导出约束关系。
• 依赖于满足弦方程的 $h$-KdV 方程族解的唯一性，由此推出 $\mathcal{D}_{A_N}$ 是 $\mathcal{W}_h$ 的最高权向量，其中 $h = N+1$。
• 证明了 $A_1$-奇点祖先生成函数的 $\mathcal{W}_{A_1}$-约束，通过单值化与单值性论证，可推出 $A_N$-奇点的 $\mathcal{W}_{A_N}$-约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明 $A_N$-奇点的总下级生成函数 $\mathcal{D}_{A_N}$ 满足超出维拉索罗代数的约束？
• RQ2 $\mathcal{D}_{A_N}$ 在圆周上微分算子代数的适当表示下，是否为 $\mathcal{W}_{N+1}$ 代数的最高权向量？
• RQ3 $\mathcal{W}_{N+1}$-约束是否为 $h = N+1$ 时 $h$-自旋曲线模空间上交数提供一组完整的递推关系？
• RQ4 吉文塔尔的辛环路空间形式化方法如何实现对 $A_N$-奇点的 $\mathcal{W}_{N+1}$-约束的推导？

主要发现

• 通过圆周上微分算子代数在中心荷 $h = N+1$ 下的射影表示，证明了 $A_N$-奇点的总下级生成函数 $\mathcal{D}_{A_N}$ 是 $\mathcal{W}_{N+1}$ 代数的最高权向量。
• $\mathcal{W}_{N+1}$-约束为 $h = N+1$ 时 $h$-自旋曲线模空间上的交数提供了完整的递推关系集。
• 证明依赖于对生成函数对数系数正则性的分析，该正则性通过单值性不变性与围线积分得以证明，特别是利用斯托克斯定理表明某些积分为常数。
• $A_1$-奇点祖先生成函数的 $\mathcal{W}_{A_1}$-约束，由于周期不变性与单值性论证，足以推出 $A_N$-奇点的 $\mathcal{W}_{A_N}$-约束。
• 作者证明了生成函数的对数系数在判别集附近是单值的，方法是通过 $\mathcal{W}_{\alpha,\beta}$ 形式的围线积分，表明其单值性诱导的改变量为零。
• 关键技术步骤在于证明 $\oint_\gamma \mathcal{W}_{a,a} = 0$ 对特定围线 $\gamma$ 成立，该结论由周期 $a$ 关于 $\gamma$ 的不变性与引理 4.8 推出，从而保证了生成函数的正则性。