[论文解读] W-Types with Reductions and the Small Object Argument

Andrew Swan|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用 11

一句话总结

本文引入了带有约化的W-类型——即依赖W-类型的推广——作为带基点的多项式自函子的初等代数。它在满足WISC的ΠW-预拓扑中证明了这些类型的存 在性，从而使得通过小对象方法构造代数弱因子分解系统（awfs）成为可能，尤其适用于可实现性拓扑和格罗滕迪克拓扑，且无需使用超限余上积。

ABSTRACT

We define a simple kind of higher inductive type generalising dependent $W$-types, which we refer to as $W$-types with reductions. Just as dependent $W$-types can be characterised as initial algebras of certain endofunctors (referred to as polynomial endofunctors), we will define our generalisation as initial algebras of certain pointed endofunctors, which we will refer to as pointed polynomial endofunctors. We will show that $W$-types with reductions exist in all $ΠW$-pretoposes that satisfy a weak choice axiom, known as weakly initial set of covers (WISC). This includes all Grothendieck toposes and realizability toposes as long as WISC holds in the background universe. We will show that a large class of $W$-types with reductions in internal presheaf categories can be constructed without using WISC. We will show that $W$-types with reductions suffice to construct some interesting examples of algebraic weak factorisation systems (awfs's). Specifically, we will see how to construct awfs's that are cofibrantly generated with respect to a codomain fibration, as defined in a previous paper by the author.

研究动机与目标

• 通过引入带有约化的W-类型，将依赖W-类型推广，其中某些构造子与其参数被识别。
• 在满足弱选择公理WISC的ΠW-预拓扑中建立这些类型的存 在性，包括可实现性拓扑和格罗滕迪克拓扑。
• 通过小对象方法将该构造应用于在余域纤维化上生成的代数弱因子分解系统（awfs）。
• 表明带有约化的W-类型为基于超限余上积的高阶归纳类型构造提供了一种 predicative 且可扩展的替代方案。
• 探索在同伦类型论语义中的应用，特别是针对Kan填充算子和纤维化替换。

提出的方法

• 将带有约化的W-类型定义为带基点的多项式自函子的初等代数，推广标准W-类型。
• 利用局部笛卡尔闭范畴的内部类型论来推理这些类型的结构与语义。
• 通过将小对象方法适配到带基点的自函子上，证明在满足WISC的ΠW-预拓扑中存在性。
• 在不依赖WISC的内部预层范畴中构造例子，仅使用基范畴的结构。
• 通过余域纤维化将初等代数与在余域纤维化上生成的awfs联系起来，表明此类awfs源于带有约化的W-类型。
• 聚焦于‘可公理化’的多项式约化——即约化映射为纤维化者——因为它们足以支持关键的类型论构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在无需超限余上积的 predicative 拓扑（如可实现性拓扑）中构造带有约化的W-类型？
• RQ2 弱选择公理WISC是否为ΠW-预拓扑中带有约化的W-类型的存 在性所必需？
• RQ3 带有约化的W-类型是否可用于在余域纤维化上构造由小对象生成的代数弱因子分解系统（awfs）？
• RQ4 可公理化的带有约化的W-类型是否足以在CwF中解释高阶归纳类型（如n-截断、集合商、球面）？
• RQ5 通过带有约化的W-类型构造的awfs是否可成为可实现性拓扑中完整代数模型结构的一部分？

主要发现

• 带有约化的W-类型存在于所有满足WISC的ΠW-预拓扑中，包括格罗滕迪克拓扑和可实现性拓扑。
• 在内部预层范畴中，一大类带有约化的W-类型可在不依赖WISC的情况下构造，仅使用基范畴的内部逻辑与结构。
• 小对象方法可重新解释为构造带基点的多项式自函子的初等代数，即精确地为带有约化的W-类型。
• 可公理化的带有约化的W-类型——即约化映射为纤维化者——足以构造能解释类型论中Kan填充算子的awfs。
• 该构造为基于超限余上积的高阶归纳类型语义提供了一种 predicative 且可扩展的替代方案，即使在缺乏无限余上积的拓扑中也适用。
• 猜想表明，此类awfs可能构成有效拓扑、立方装配和克莱恩-维斯利拓扑中代数模型结构的一部分，扩展了已知的模型结构（如斯特罗姆模型结构）。