[论文解读] WAFOM on abelian groups for quasi-Monte Carlo point sets

Kosuke Suzuki|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2014

Mathematical Approximation and Integration参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文将沃尔什图灵指标（WAFOM）和狄克权重从二元数字网推广至任意有限阿贝尔群，为循环群建立了类科克斯马-霍拉卡不等式，并推导出权重枚举多项式的麦克威廉姆斯型恒等式。当 $ (/log N)/s $ 较大时，分别证明了 WAFOM 的下界 $ N^{-C'_G(/log N)/s} $ 和上界 $ N^{-C_G(/log N)/s} $，推广了此前针对 $ \mathbb{F}_2 $ 的结果。

ABSTRACT

In this paper, we study quasi-Monte Carlo (QMC) rules for numerical integration. J. Dick proved a Koksma-Hlawka type inequality for $α$-smooth integrands and gave an explicit construction of QMC rules achieving the optimal rate of convergence in that function class. From this inequality, Matsumoto et al. introduced Walsh figure of merit (WAFOM) $\mathrm{WAFOM}(P)$ for an $\mathbb{F}_2$-digital net $P$ as a quickly computable quality criterion for $P$ as a QMC point set. The key ingredient for obtaining WAFOM is the Dick weight, a generalization of the Hamming weight and the Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman (NRT) weight. We extend the notions of the Dick weight and WAFOM for digital nets over a general finite abelian group $G$, and show that this version of WAFOM satisfies Koksma-Hlawka type inequality when $G$ is cyclic. We give a MacWilliams-type identity on the weight enumerator polynomials for the Dick weight, by which we can compute the minimum Dick weight as well as WAFOM. We give a lower bound of WAFOM of order $N^{-C'_G(\log N)/s}$ and an upper bound of lowest WAFOM of order $N^{-C_G(\log N)/s}$ for given $(G,N,s)$ if $(\log N)/s$ is sufficiently large, where $N$ is the cardinality of the point set $P$, $P$ is a quadrature rule in $[0,1)^s$, and $C'_G$ and $C_G$ are constants depending only on the cardinality of $G$. These bounds generalize the bounds given by Yoshiki and others given for $G=\mathbb{F}_2$.

研究动机与目标

• 将狄克权重和 WAFOM 的概念从 $ \mathbb{F}_2 $-数字网推广至一般的有限阿贝尔群。
• 当群为循环群时，利用推广后的 WAFOM 建立类科克斯马-霍拉卡不等式，用于准蒙特卡罗积分。
• 为狄克权重推导出麦克威廉姆斯型恒等式，以实现对最小狄克权重和 WAFOM 的高效计算。
• 为大小为 $ N $ 的 $ s $ 维点集提供非渐近的最小 WAFOM 的界，其依赖于 $ N $、$ s $ 和群大小 $ b = |G| $。
• 将现有针对 $ \mathbb{F}_2 $ 的 WAFOM 界推广至任意有限阿贝尔群。

提出的方法

• 为有限阿贝尔群 $ G $ 的 $ G^{s \times n} $ 的子群定义狄克权重 $ \mu $，推广 $ \mathbb{F}_2 $ 情形。
• 将沃尔什图灵指标（WAFOM）$ \mathrm{WF}^n(P) $ 定义为 $ G $-数字网的质量准则。
• 证明狄克权重的权重枚举多项式具有麦克威廉姆斯型恒等式，从而可借助权重枚举多项式计算最小狄克权重和 WAFOM。
• 当 $ G $ 为循环群时，建立 $ \alpha $-光滑被积函数的类科克斯马-霍拉卡不等式，将误差界与 WAFOM 联系起来。
• 推导出当 $ (\log N)/s $ 足够大时，WAFOM 的下界为 $ N^{-C'_G \log N / s} $，以及最小 WAFOM 的上界为 $ N^{-C_G \log N / s} $。
• 利用子群对偶性及涉及 $ P^\perp $ 的计数论证，对最小狄克权重 $ \delta_{P^\perp} $ 进行有界，从而导出对 WAFOM 的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 狄克权重和 WAFOM 能否在 $ \mathbb{F}_2 $-数字网的基础上，有意义地推广至一般的有限阿贝尔群？
• RQ2 当基群 $ G $ 为循环群时，推广后的 WAFOM 是否对 $ \alpha $-光滑被积函数满足类科克斯马-霍拉卡不等式？
• RQ3 能否在有限阿贝尔群上为狄克权重建立麦克威廉姆斯型恒等式，以实现对最小狄克权重和 WAFOM 的高效计算？
• RQ4 对 $ s $ 维大小为 $ N $ 的 $ G $-数字网，其最小 WAFOM 的数量级界是什么？
• RQ5 WAFOM 的界如何推广已知的 $ \mathbb{F}_2 $ 基构造的界？

主要发现

• 当基群 $ G $ 为循环群时，推广后的 WAFOM 对 $ \alpha $-光滑被积函数满足类科克斯马-霍拉卡不等式。
• 为狄克权重建立了麦克威廉姆斯型恒等式，使得可通过权重枚举多项式计算最小狄克权重和 WAFOM。
• 推导出最小 WAFOM 的下界为 $ \mathrm{WF}^n(P) \geq b^{-C'_G d^2 / s} $，其中 $ C'_G $ 仅依赖于 $ |G| $，当 $ d/s $ 足够大时成立。
• 推导出最小 WAFOM 的上界为 $ \mathrm{WF}^n(P) \leq \left(1 + \frac{1+c}{c} \frac{1}{\log b}\right) b^{-D^2 d^2 / ((b-1)s)} e^{2Dd} $，其中常数仅依赖于 $ b $。
• 通过令 $ N = b^d $，将界表示为 $ N $ 的函数：$ N^{-C'_G \log N / s} \leq \min \mathrm{WF}^n(P) \leq \text{const} \cdot N^{-D^2 \log N / ((\log b)(b-1)s) + 2D / \log b} $。
• 这些界推广了已知的 $ \mathbb{F}_2 $ 基构造的 Yoshiki 等人的结果，将其扩展至任意有限阿贝尔群。