[论文解读] Waiting time asymptotics in the single server queue with service in random order

Onno Boxma, Sergey Foss+2 more|Data Archiving and Networked Services (DANS)|Jul 18, 2012

Advanced Queuing Theory Analysis被引用 3

一句话总结

本文研究了在服务时间服从重尾分布的单服务器随机服务顺序（ROS）队列中等待时间尾部渐近行为。对于泊松到达和指数为 $-\nu$ 的正则变化服务时间，等待时间分布同样为指数为 $1-\nu$ 的正则变化分布，并显式推导出渐近表达式中的预因子，为具有无限方差服务时间的 $M/G/1$ 队列提供了精确的重交通极限。

ABSTRACT

We consider the single server queue with service in random order. For a large class of heavy-tailed service time distributions, we determine the asymptotic behavior of the waiting time distribution. For the special case of Poisson arrivals and regularly varying service time distribution with index -ν, it is shown that the waiting time distribution is also regularly varying, with index 1 -ν, and the pre-factor is determined explicitly. Another contribution of the paper is the heavy-traffic analysis of the waiting time distribution in the M/G/1 case. We consider not only the case of finite service time variance, but also the case of regularly varying service time distribution with infinite variance.

研究动机与目标

• 确定在服务时间服从重尾分布的单服务器队列中，服务顺序为随机顺序（ROS）时等待时间分布的渐近行为。
• 将重交通极限定理扩展至服务时间方差为无穷的 $M/G/1$ 队列。
• 为服务时间呈指数 $-\nu$ 的正则变化分布时的等待时间建立精确的尾部分析。
• 为 ROS 队列中导致极大等待时间的主导贡献提供概率解释。
• 证明在 ROS 服务规则下，等待时间分布的尾部行为继承服务时间分布的正则变化特性。

提出的方法

• 将等待时间超过大值 $x$ 的事件分解为四个具有明确概率意义的项，每一项对应不同的罕见事件情景。
• 应用亚指数分布和长尾分布的理论，识别出尾部的主要贡献，即一个大的服务时间或剩余服务时间占主导。
• 利用 Bingham 和 Doney 关于正则变化分布的 Laplace-Stieltjes 变换的有力引理，从 Le Gall 的等待时间 LST 表达式推导出等待时间尾部的渐近行为。
• 基于“典型事件定理”的概率论证，将渐近行为解释为涉及大服务时间或大量顾客的罕见事件。
• 应用一个约化引理（引理 D.1），表明在尾部分析中，到达过程可被具有相同速率的确定性过程替代，从而将分析简化为类似 $D/G/1$ 的系统。
• 对客户索引上的求和进行详细的渐近分析，利用一致收敛性和积分近似，推导出最终的尾部表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当服务时间呈正则变化且具有无限方差时，$M/G/1$ 队列中服务顺序为随机顺序的等待时间分布的精确渐近行为是什么？
• RQ2 在 ROS 队列中，等待时间分布的尾部与服务时间分布的尾部有何关系？
• RQ3 在重尾服务时间下，导致 ROS 队列中极长等待时间的主导概率机制是什么？
• RQ4 在不影响等待时间分布尾部渐近行为的情况下，能否将到达过程替换为确定性过程？
• RQ5 当服务时间呈指数 $-\nu$ 的正则变化分布时，等待时间尾部渐近表达式中的精确预因子是什么？

主要发现

• 对于泊松到达和指数为 $-\nu$ 的正则变化服务时间分布，等待时间分布同样为指数为 $1-\nu$ 的正则变化分布。
• 等待时间尾部渐近表达式中的预因子被显式确定为 $\frac{\rho}{1-\rho}h(\rho)$，其中 $h(\rho)$ 是流量强度 $\rho$ 的函数。
• 等待时间尾部的渐近行为主要由一个剩余服务时间超过 $x$ 的事件主导，其对尾部的贡献为 $\rho \cdot \mathsf{P}(B^{fw} > x)$。
• 本文为服务时间方差为无穷的 $M/G/1$ 队列建立了重交通极限定理。
• 通过两种独立方法推导出尾部分析：一种基于 Laplace-Stieltjes 变换分析，另一种基于等待时间尾部的直接概率分解。
• 分析结果证实，等待时间尾部继承了服务时间分布的正则变化特性，且具有依赖于流量强度 $\rho$ 的精确缩放因子。