[论文解读] Wald tests when restrictions are locally singular

Jean‐Marie Dufour, Éric Renault+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Game Theory and Voting Systems参考文献 61被引用 5

一句话总结

本文为在非线性约束局部奇异（即Jacobian矩阵渐近失去满秩）条件下，Wald检验发展了一套非标准渐近理论。研究发现，标准卡方临界值可能因尺寸扭曲而失效，为此提出使用秩一致协方差估计量与广义逆矩阵的方法，使卡方分布的自由度减少，从而获得有效的渐近分布。

ABSTRACT

Wald-type tests are convenient because they allow one to test a wide array of linear and nonlinear restrictions from a single unrestricted estimator; we focus on the problem of implementing Wald-type tests for nonlinear restrictions. We provide examples showing that Wald statistics in non-regular cases can have several asymptotic distributions; the usual critical values based on a chi-square distribution can both lead to under-rejections and over-rejections; indeed, the Wald statistic may diverge under the null hypothesis. We study the asymptotic distribution of Wald-type statistics for the class of polynomial restrictions and show that the Wald statistic either has a non-degenerate asymptotic distribution, or diverges to infinity. We provide conditions for convergence and a general characterization of this distribution. We provide bounds on the asymptotic distribution (when it exists). In several cases of interest, this bound yields an easily available conservative critical value. We propose an adaptive consistent strategy for determining whether the asymptotic distribution exists and which form it takes.

研究动机与目标

• 解决当原假设下Jacobian矩阵渐近秩亏损时，标准Wald检验失效的问题。
• 研究在估计协方差矩阵在极限下为奇异但有限样本中非奇异的非正则情形下，Wald统计量的渐近分布。
• 提出一种避免对检验统计量进行任意修改的解决方案，与依赖特征值截断的现有方法不同。
• 证明在局部奇异条件下，Wald统计量的渐近分布为自由度减少的卡方分布。
• 推导标准卡方近似失效的条件，并提出一种基于广义逆矩阵的一致替代方法。

提出的方法

• 通过重新参数化方法分离奇异结构，推导在局部奇异条件下的Wald统计量渐近分布。
• 使用估计协方差矩阵的广义逆，确保其与渐近秩保持一致并实现秩收敛。
• 应用多项式矩阵行列式的连续性论证，证明Wald统计量收敛于自由度减少的卡方分布。
• 建立原始Wald统计量与涉及广义逆矩阵和投影矩阵的变换版本之间的渐近等价性。
• 利用多项式估计量及其齐次分量的收敛性，确定极限协方差矩阵的有效秩。
• 通过范数界和相似矩阵的谱性质，控制原假设下检验统计量的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当原假设下Jacobian矩阵渐近秩亏损时，Wald统计量的渐近分布为何？
• RQ2 在这些非正则情形下，能否可靠使用标准卡方临界值，还是会导致尺寸扭曲？
• RQ3 如何修改Wald检验以保持有效性，同时避免特征值截断或权重重分配等任意操作？
• RQ4 估计协方差矩阵的秩在何种条件下无法一致估计渐近秩？
• RQ5 能否推导出一种一致的渐近分布估计量，以反映约束的奇异结构？

主要发现

• 当约束局部奇异时，Wald统计量在原假设下可能发散，导致使用标准卡方临界值时出现任意的尺寸扭曲。
• 使用完整自由度的标准卡方近似可能导致过度拒绝或拒绝不足，具体取决于约束的函数形式。
• Wald统计量的渐近分布为自由度等于极限Jacobian矩阵秩的卡方分布，而非约束数量。
• 使用与渐近秩一致的估计协方差矩阵的广义逆，可使卡方分布的自由度减少，从而恢复有效性。
• 所提方法避免了如特征值截断等任意修改，后者可能导致检验功效损失和推断不一致。
• 渐近分布通过多项式行列式的连续性及齐次多项式分量的一致估计推导得出，确保在局部奇异条件下的有效性。