[论文解读] Wall Crossing Phenomenology of Orientifolds

Daniel Krefl|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 50被引用 9

一句话总结

本文为局部局部 toric Calabi-Yau 3-流形的 orientifold 在大体积、群 orbifold 及基里奇模空间中的非交换点，引入了实 Donaldson-Thomas 分区函数，建立了实大体积与实非交换/orbifold 不变量之间墙穿跃关系的猜想。利用实拓扑顶点形式，对锥面和 $A_n$ 奇点组合计算了这些不变量，通过显式计算金字塔分区函数与零次度贡献，验证了该猜想。

ABSTRACT

We initiate the study of wall crossing phenomena in orientifolds of local toric Calabi-Yau 3-folds from a topological string perspective. For this purpose, we define a notion of real Donaldson-Thomas partition function at the large volume, orbifold and non-commutative point in Kaehler moduli space. As a byproduct, we refine the constant map contribution to the partition function of the real topological string on a local toric background. We conjecture the general relation between the real large volume and real non-commutative/orbifold Donaldson-Thomas partition function of orientifolds of local toric Calabi-Yau 3-folds without compact divisors. The conjectured relation is confirmed at hand of the conifold and local A_n singularity, for which we explicitly derive the real non-commutative/orbifold Donaldson-Thomas partition function combinatorially.

研究动机与目标

• 从拓扑弦理论的角度出发，启动对 orientifold 中墙穿跃现象的研究，特别是实 Donaldson-Thomas 不变量的背景。
• 为局部 toric Calabi-Yau 3-流形的 orientifold 在基里奇模空间的大体积、orbifold 及非交换点，定义并计算实 Donaldson-Thomas 分区函数。
• 在无紧致除数的情况下，提出并验证实大体积与实非交换/orbifold 分区函数之间的一般关系。
• 对局部 toric 背景下的实拓扑弦分区函数中的常值映射贡献进行细化。

提出的方法

• 为局部 toric Calabi-Yau 3-流形的 orientifold 在基里奇模空间的大体积、orbifold 及非交换点，引入实 Donaldson-Thomas 分区函数的概念。
• 应用实拓扑顶点形式计算分区函数，将普通拓扑顶点扩展以包含反全纯对合。
• 使用转移矩阵方法计算涉及实顶点算符的关联函数，实现分区函数的组合计算。
• 通过组合计算金字塔分区，利用广义 MacMahon 函数与舒尔函数恒等式推导实分区函数。
• 利用生成函数与乘积恒等式显式计算零次度贡献，确认其与 BPS 状态计数的一致性。
• 通过显式计算锥面和 $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n \times \mathbb{C}$ 在 orbifold 与非交换点的实分区函数，确认了猜想的墙穿跃关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部 toric Calabi-Yau 3-流形的 orientifold 中，实 Donaldson-Thomas 不变量在墙穿跃下的行为如何？
• RQ2 在无紧致除数的 orientifold 中，实大体积与实非交换/orbifold Donaldson-Thomas 分区函数之间的确切关系是什么？
• RQ3 在 orientifold 背景下，实拓扑弦分区函数中的常值映射贡献是否可被细化并显式计算？
• RQ4 实拓扑顶点与转移矩阵形式如何推广，以在基里奇模空间的不同点计算实分区函数？
• RQ5 何种组合结构（例如金字塔分区）编码了在 orbifold 与非交换点的实 Donaldson-Thomas 不变量？

主要发现

• 当 $n$ 为偶数时，通过将 (3.27) 的一般形式代入，得到了 $n$ 为偶数时在 orbifold 点的实分区函数，该结果由 (C.29) 与 (C.30)-(C.31) 的因子组合确认。
• 对于解析锥面，对奇数和偶数 $N$ 均通过组合方法计算了实非交换分区函数，两种情况下均得到相同结果 (5.32)。
• 类似地，得到了 $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{C}$ 的实分区函数，通过类似关联函数计算，对 $N-1$ 为偶数与奇数的情况均得到 (5.47)。
• 零次度贡献被显式计算为 $M(1,q)$，并与其它因子结合，得到完整的分区函数。
• 通过显式组合计算，确认了锥面和 $A_n$ 奇点中实大体积与实非交换/orbifold 不变量之间的猜想墙穿跃关系。
• 常值映射贡献被细化，并显示与 BPS 状态计数一致，零次度因子在最终表达式中表现为 $M(1,q)$。