[论文解读] Wall-crossing structures in Donaldson-Thomas invariants, integrable systems and Mirror Symmetry

Maxim Kontsevich, Yan Soibelman|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2013

Advanced Algebra and Geometry被引用 27

一句话总结

本文引入墙穿结构（WCS）作为统一唐纳森-托马斯不变量、可积系统与镜像对称性的框架。它证明了满足墙穿公式的DT不变量对应于形式Poisson流形，并将此推广至具有中心荷的复可积系统（如Hitchin系统），其中满足WCS的不变量源自梯度树与热带几何。主要贡献是通过非阿基米德可积系统与散射图，几何构造镜像对偶。

ABSTRACT

We introduce the notion of Wall-Crossing Structure and discuss it in several examples including complex integrable systems, Donaldson-Thomas invariants and Mirror Symmetry. For a big class of non-compact Calabi-Yau 3-folds we construct complex integrable systems of Hitchin type with the base given by the moduli space of deformations of those 3-folds. Then Donaldson-Thomas invariants of the Fukaya category of such a Calabi-Yau 3-fold can be (conjecturally) described in two more ways: in terms of the attractor flow on the base of the corresponding complex integrable system and in terms of the skeleton of the mirror dual to the total space of the integrable system. The paper also contains a discussion of some material related to the main subject, e.g. Betti model of Hitchin systems with irregular singularities, WKB asymptotics of connections depending on a small parameter, attractor points in the moduli space of complex structures of a compact Calabi-Yau 3-fold, relation to cluster varieties, etc.

研究动机与目标

• 通过墙穿结构（WCS）的通用框架，统一唐纳森-托马斯不变量与镜像对称性中的墙穿现象。
• 证明3维Calabi-Yau范畴中的DT不变量，通过墙穿公式，与格罗滕迪克群的正式Poisson流形一一对应。
• 将WCS框架推广至具有中心荷的复可积系统，包括Hitchin系统与Seiberg-Witten系统。
• 利用非阿基米德可积系统与热带几何，构造非紧致Calabi-Yau 3流形的镜像对偶。
• 建立镜像对偶的代数性，并将其与稳定性数据及散射图关联。

提出的方法

• 将墙穿结构（WCS）定义为向量空间或拓扑空间上的形式Poisson自同构，推广DT理论中的墙穿公式。
• 通过与热带有效除子的交叠理论，在可积系统的底空间上从梯度树构造WCS。
• 使用底空间上的非负(1,1)-当前来限制热带树的尾部数量，确保不变量的有限性与紧支集性质。
• 通过非负(1,1)-当前赋予底空间Z-仿射结构，从而构造非阿基米德可积系统。
• 利用墙变换，从规范非阿基米德可积系统构造镜像对偶族作为解析空间。
• 将WCS与非阿基米德几何中的散射图及板（slabs）关联，推广Gross-Siebert的框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一几何结构下统一DT不变量与镜像对称性中的墙穿公式？
• RQ2 在具有中心荷的可积系统（如Hitchin系统）中，DT不变量的几何意义是什么？
• RQ3 如何利用可积系统底空间上的热带几何与梯度树来构造满足墙穿公式的不变量？
• RQ4 哪些条件能确保由热带曲线构造的不变量具有有限性与支集性质？
• RQ5 非阿基米德可积系统构造如何为非紧致Calabi-Yau 3流形生成规范镜像对偶？

主要发现

• 墙穿结构（WCS）为3CY范畴中的DT不变量与镜像对称性提供了统一框架，两类墙穿公式均作为自同构群中的恒等式出现。
• 满足墙穿公式的DT不变量与3CY范畴格罗滕迪克群相关的正式Poisson流形之间存在一一对应。
• 对于具有中心荷的可积系统（如Hitchin系统），满足墙穿公式的整数集合可由梯度树与热带曲线构造。
• 这些不变量的有限性与支集性质由一组热带有效除子的交集位于奇点集中的事实所保证。
• 通过非负(1,1)-当前，可积系统的底空间获得Z-仿射结构，从而可构造出扩展至镜像对偶族的非阿基米德可积系统。
• 由此产生的非阿基米德可积系统对应于镜像对偶族的解析空间，墙在新仿射结构下变为弯曲，沿墙的变换相应地修改整体空间。