[论文解读] Wandering domains arising from Lavaurs maps with Siegel disks

Astorg, Matthieu+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文通过将 Lavaurs 映射与 Siegel 圆盘结合，构建了一类新型的复动力系统中的游荡域，其与以往基于吸引不动点的构造方式不同。通过精细估计抛物收敛速率及构造抛物曲线，证明了非自治系统中捕获域存在的充要条件，首次实现了在多项式斜积系统中由 Siegel 型动力系统产生的游荡域的构造。

ABSTRACT

The classification of Fatou components for rational functions was concluded with Sullivan's proof of the No Wandering Domains Theorem in 1985. In 2016 it was shown, in joint work of the first and last author with Buff, Dujardin and Raissy, that wandering domains do exist in higher dimensions. In fact, wandering domains arise even for a seemingly simple class of maps: polynomial skew products. While the construction gives an infinite dimensional class of examples, and has been extended to polynomial automorphisms of C 4 by Hahn and the last author, the currently known wandering domains are essentially unique. Our goal in this paper is to construct a second example, arising from similar techniques , but with distinctly different dynamical behavior. Instead of wandering domains arising from a Lavaurs map with an attracting fixed point, we construct a domain arising from a Lavaurs map with a fixed point of Siegel type. Siegel disks are not robust under perturbations, as opposed to attracting fixed points. We prove a necessary and sufficient condition for the existence of a so-called trapping domain for non-autonomous dynamical systems given by sequences of maps converging parabolically towards a Siegel type limit map. Guaranteeing that this condition is satisfied in our current construction requires a reconsideration of the proof of the original wandering domain, as more precise estimates on the rate of convergence towards the Lavaurs map are required. By adapting ideas introduced recently by Bedford, Smillie and Ueda, and by proving the existence of parabolic curves, with control on their domains of definition, we prove that the convergence rate is parabolic.

研究动机与目标

• 将游荡域理论的适用范围从吸引不动点扩展至包含 Siegel 圆盘的情形，后者在扰动下不具备鲁棒性。
• 解决当极限映射具有 Siegel 圆盘而非吸引不动点时，构造游荡域的挑战。
• 为收敛于 Siegel 型 Lavaurs 映射的非自治动力系统中捕获域的存在性，建立必要且充分的条件。
• 借鉴 Bedford、Smillie 与 Ueda 的技术，以控制收敛速率并证明向 Lavaurs 映射收敛时的抛物行为。

提出的方法

• 通过构造收敛于具有 Siegel 型不动点的 Lavaurs 映射的映射序列，构建一个非自治动力系统。
• 为非自治系统引入捕获域条件，该条件以迭代渐近行为为准则进行表述。
• 重新审视原始游荡域构造方法，采用更严格的收敛速率估计，聚焦于抛物行为。
• 应用 Bedford、Smillie 与 Ueda 的最新技术，证明存在具有可控定义域的抛物曲线。
• 确立向 Lavaurs 映射的收敛速率具有抛物性，这对捕获机制的成立至关重要。
• 通过控制抛物曲线定义域的范围，确保在极限情况下满足捕获条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当极限 Lavaurs 映射具有 Siegel 圆盘而非吸引不动点时，是否可在高维动力系统中构造游荡域？
• RQ2 在非自治系统收敛于 Siegel 型映射且收敛方式为抛物的情况下，捕获域存在的必要且充分条件是什么？
• RQ3 与吸引不动点相比，Siegel 圆盘的非鲁棒性如何影响游荡域的构造？
• RQ4 为确保对捕获机制至关重要的抛物行为，向 Lavaurs 映射的收敛速率在多大程度上可被控制？
• RQ5 能否以足够控制其定义域的方式构造抛物曲线，以支持在此设定下游荡域的存在性？

主要发现

• 构造出一个新类型的游荡域，其源于具有 Siegel 型不动点的 Lavaurs 映射，展现出与以往基于吸引不动点的构造截然不同的动力行为。
• 为收敛于 Siegel 型极限映射的非自治系统中捕获域的存在性，建立了必要且充分的条件。
• 证明了向 Lavaurs 映射的收敛速率具有抛物性，这对构造中捕获机制的成立至关重要。
• 证明了抛物曲线的存在性，并具有可控的定义域，从而支持了对构造至关重要的精确估计。
• 该证明要求对原始游荡域构造方法进行重新评估，通过改进收敛速率的估计，确保在 Siegel 型动力系统下仍保持有效性。
• 该方法成功将已知游荡域的类别扩展至此前唯一构造之外，展示了动力行为的多样性。