[论文解读] Wardowski implicit contractions in metric spaces

Mihai Turinici|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2012

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 7被引用 27

一句话总结

本文通过证明大多数此类压缩映射属于 Matkowski 型，建立了度量空间中 Wardowski 型隐函数压缩映射的不动点定理，从而在完备性条件下得到全局强 Picard 算子。关键贡献在于证明：在隐函数 $ F $ 的温和条件下，压缩映射可推出迭代序列收敛到唯一不动点，且当 $ F $ 为正则函数并具有 $ \varphi $-可传递性时，还具有 Hyers-Ulam 稳定性。

ABSTRACT

Most of the implicit contractions introduced by Wardowski [Fixed Point Th. Appl., 2012, 2012:94] are Matkowski type contractions.

研究动机与目标

• 将 Wardowski 的隐函数压缩原理推广到更广泛的度量空间压缩映射类。
• 证明大多数 Wardowski 型隐函数压缩映射属于 Matkowski 型，从而可应用已知的不动点定理。
• 确定隐函数 $ F $ 的最小条件，以确保不动点的存在性与唯一性。
• 证明不动点是全局吸引的，且迭代序列 $ T^n x $ 为 $ d $-柯西列（在更强条件下为 $ d $-望远镜型柯西列）。
• 在 Matkowski 可传递性条件下，建立不动点的 Hyers-Ulam $ \Phi $-稳定性。

提出的方法

• 使用形如 $ F(d(Tx,Ty), d(x,y)) \leq 0 $ 的隐函数压缩映射，其中 $ F $ 为 Wardowski 函数。
• 通过函数 $ \varphi $（由 $ F $ 定义）将 Wardowski 压缩映射转化为 Matkowski 型压缩映射。
• 通过验证 $ \varphi $-可传递性与 $ \varphi $-望远镜可传递性，应用 Matkowski 不动点定理。
• 利用 $ d $-半柯西列与 $ d $-柯西列序列分析，证明迭代序列 $ T^n x $ 的收敛性。
• 引入 $ F $ 的 $ k $-正则性以确保 $ \sum d(x_n, x_{n+1}) $ 的可和性，从而保证 $ d $-望远镜型柯西行为。
• 利用 $ F(\rho_n) \to -\infty $ 的极限行为推导出 $ \rho_n = d(x_n, x_{n+1}) \to 0 $，从而确保半柯西收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种隐函数 $ F $ 的条件下，Wardowski 压缩映射在完备度量空间中产生唯一不动点？
• RQ2 Wardowski 的隐函数压缩原理能否被约化为 Matkowski 不动点定理框架？
• RQ3 对 $ F $ 需附加何种条件，才能保证迭代序列 $ (T^n x) $ 为 $ d $-望远镜型柯西列（即 $ \sum d(x_n, x_{n+1}) < \infty $）？
• RQ4 在何种条件下，不动点满足 Hyers-Ulam $ \Phi $-稳定性，即 $ d(x,z) \leq \Phi(d(x,Tx)) $？
• RQ5 若 $ F $ 为正则函数，是否足以保证轨道序列的 $ d $-望远镜型柯西性质？

主要发现

• 若 $ T $ 是某个 $ a>0 $ 的 $ (a,F) $-压缩映射，且 $ F $ 为 Wardowski 函数，则 $ T $ 是全局强 Picard 算子，即 $ \text{Fix}(T) $ 为单点集，且对所有 $ x \in X $，有 $ T^n x \to z $。
• 压缩条件 $ a + F(\rho_{n+1}) \leq F(\rho_n) $ 推出 $ F(\rho_n) \to -\infty $，由引理 2 可得 $ \rho_n = d(x_n, x_{n+1}) \to 0 $，从而确保 $ d $-半柯西行为。
• 若 $ F $ 为正则函数（即对某个 $ k \in (0,1) $ 为 $ k $-正则），则 $ \sum d(x_n, x_{n+1}) < \infty $，故 $ (x_n) $ 为 $ d $-望远镜型柯西列，因而为 $ d $-柯西列。
• 在关联函数 $ \varphi $ 的 $ \varphi $-望远镜可传递性条件下，不动点满足 Hyers-Ulam $ \Phi $-稳定性：对所有 $ x \in X $，有 $ d(x,z) \leq \Phi(d(x,Tx)) $。
• 不动点唯一，且算子为非扩张的：$ d(Tx,Ty) \leq d(x,y) $，故为 $ d $-连续的。
• 结果可推广至拟序度量空间，如先前工作所建议，但完整发展留待未来工作。