[论文解读] Warped cones and proper affine isometric actions of discrete groups on Banach spaces

Qin Wang, Zhen Wang|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文建立了 warped cones 到 $L_p$-空间的纤维粗嵌入与离散群在 $L_p$-空间上的正规仿射等距作用之间的精确对应关系。证明了当且仅当群 $\Gamma$ 在某个 $L_p$-空间上存在正规仿射等距作用时，warped cone $\mathcal{O}_\Gamma(M)$ 才能纤维粗嵌入到 $L_p$-空间中（$1 \leq p < \infty$），并将其推广至 Banach 空间的稳定类。该结果表明，对于某些不粗嵌入到任何 $L_p$-空间中的 warped cones，最大粗 Baum–Connes 与粗 Novikov 猜想均成立。

ABSTRACT

Warped cones are metric spaces introduced by John Roe from discrete group actions on compact metric spaces to produce interesting examples in coarse geometry. We show that a certain class of warped cones $\mathcal{O}_Γ(M)$ admit a fibred coarse embedding into a $L_p$-space ($1\leq p

研究动机与目标

• 建立 warped cone 纤维粗嵌入性在 Banach 空间上正规仿射等距群作用下的表征。
• 将 warped cone 的几何性质与粗 Baum–Connes 和 Novikov 猜想等分析猜想之间的联系加以拓展。
• 通过证明某些 warped cones 仅在不承认纤维粗嵌入时才构成粗 Baum–Connes 猜想的反例，从而解决 Druźtu 和 Nowak 的一个猜想。
• 将希尔伯特空间上的结果推广至 $L_p$-空间及其他稳定 Banach 空间，包括一致凸空间和非平凡类型空间。
• 将该表征应用于高指标理论，证明特定非嵌入式 warped cones 的最大粗 Baum–Connes 与粗 Novikov 猜想成立。

提出的方法

• 利用 Roe 的 warped 度量构造，从离散群在紧致度量空间上的作用构造 warped cones $\mathcal{O}_\Gamma(M)$。
• 对变换群使用线性化技术，将群在 $M$ 上的作用与 $L_2(M)$ 上的酉表示联系起来，从而实现向 $L_p$-空间的推广。
• 应用 S. Arnt 的近期结果：$L_p$-空间中的纤维粗嵌入蕴含在 $L_p$-空间上的正规仿射等距作用。
• 利用 Banach 空间在超乘积和 Lebesgue-Bochner $L_p$-空间下的稳定性性质，将结果推广至一致凸空间或非平凡类型空间等更广类别的空间。
• 借助已知的 $K$-理论与装配映射结果，从纤维粗嵌入性推导出粗 Baum–Connes 与 Novikov 猜想的有效性。
• 将该表征应用于具体例子，包括 $\mathcal{O}_{\mathbb{F}_2}(\text{SU}(2))$ 和双曲群的有限型完备化，以验证非嵌入空间的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 warped cone $\mathcal{O}_\Gamma(M)$ 到 $L_p$-空间的纤维粗嵌入性是否表征了 $\Gamma$ 在 $L_p$-空间上存在正规仿射等距作用？
• RQ2 能否验证那些不粗嵌入到任何 $L_p$-空间中的 warped cones 的粗 Baum–Connes 与 Novikov 猜想？
• RQ3 该表征从希尔伯特空间推广至其他稳定 Banach 空间类（如 $1 \leq p < \infty$ 的 $L_p$-空间或一致凸空间）的适用范围有多大？
• RQ4 残基有限群 $\Gamma$ 的有限型完备化 $\widehat{\Gamma}((\Gamma_n))$ 与 $\mathcal{O}_\Gamma(G)$ 的纤维粗嵌入性之间有何关系？
• RQ5 在什么条件下，群 $\Gamma$ 与空间 $M$ 能确保 $\mathcal{O}_\Gamma(M)$ 可纤维粗嵌入到 $L_p$-空间中？

主要发现

• 当且仅当离散群 $\Gamma$ 在某个 $L_p$-空间上存在正规仿射等距作用时，warped cone $\mathcal{O}_\Gamma(M)$ 才能纤维粗嵌入到 $L_p$-空间中（$1 \leq p < \infty$）。
• 该等价关系可推广至任何在超乘积下稳定的 Banach 空间类，包括 Lebesgue-Bochner $L_p$-空间、一致凸空间以及具有非平凡类型的空。
• 最大粗 Baum–Connes 猜想对 $\mathcal{O}_{\mathbb{F}_2}(\text{SU}(2))$ 成立，该 warped cone 不粗嵌入到任何 $L_p$-空间中（$1 \leq p < \infty$）。
• 粗 Novikov 猜想对 $\mathcal{O}_\Gamma(G)$ 成立，其中 $\Gamma$ 是有限生成的双曲群，$G$ 是一个紧致可度量化的群，且 $\Gamma$ 作为具有有界几何的稠密子群包含于 $G$ 中。
• 对于任意可数子群 $\Gamma$ 局部同构于 $\text{SO}(3)^k \times \text{U}(1)^m$ 的紧李群 $G$，$\mathcal{O}_\Gamma(G)$ 的最大粗 Baum–Connes 与粗 Novikov 猜想均成立。
• 该结果推广了先前关于方框空间的工作：$\Box_{\{\Gamma_n\}}\Gamma$ 到 $L_p$-空间的纤维粗嵌入性等价于 $\Gamma$ 在某个 $L_p$-空间上存在正规仿射等距作用。