[论文解读] Warped cones, (non-)rigidity, and piecewise properties, with a joint appendix with Dawid Kielak

Damian Sawicki|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 34被引用 6

一句话总结

本文证明了，扭曲锥之间的拟等距映射并不必然诱导出底层群之间的拟等距映射，这与方框空间的情况相反。文章引入了分片几何性质，以通过扭曲锥构造刻画群不变量（如渐近维数、性质A及粗嵌入性），并证明了群作用上的扭曲锥的渐近维数等于该群的渐近维数乘以一个由空间的拓扑维数决定的ℤ的幂次。

ABSTRACT

We prove that if a quasi-isometry of warped cones is induced by a map between the base spaces of the cones, the actions must be conjugate by this map. The converse is false in general, conjugacy of actions is not sufficient for quasi-isometry of the respective warped cones. For a general quasi-isometry of warped cones, using the asymptotically faithful covering constructed in a previous work with Jianchao Wu, we deduce that the two groups are quasi-isometric after taking Cartesian products with suitable powers of the integers. Secondly, we characterise geometric properties of a group (coarse embeddability into Banach spaces, asymptotic dimension, property A) by properties of the warped cone over an action of this group. These results apply to arbitrary asymptotically faithful coverings, in particular to box spaces. As an application, we calculate the asymptotic dimension of a warped cone, improve bounds by Szabó, Wu, and Zacharias and by Bartels on the amenability dimension of actions of virtually nilpotent groups, and give a partial answer to a question of Willett about dynamic asymptotic dimension. In the appendix, we justify optimality of the aforementioned result on general quasi-isometries by showing that quasi-isometric warped cones need not come from quasi-isometric groups, contrary to the case of box spaces.

研究动机与目标

• 研究扭曲锥的拟等距映射在多大程度上反映了底层群与作用的结构性质。
• 回答拟等距的扭曲锥是否蕴含作用群的拟等距、共轭或同构的问题，结论是否定的。
• 发展并应用几何性质的分片版本（如渐近维数、性质A、粗嵌入性），以建立群不变量与扭曲锥及方框空间的度量性质之间的联系。
• 精确计算扭曲锥的渐近维数，利用群的渐近维数与空间的拓扑维数。
• 为Willett关于动态渐近维数的问题提供部分解答，并改进几乎幂零群作用的可约维数的界。

提出的方法

• 引入了‘分片’几何性质的概念（如分片性质A、分片渐近维数），以捕捉扭曲锥与方框空间的度量不变量。
• 利用[SW]中的渐近忠实覆盖构造，将扭曲锥的性质与群及其作用的性质联系起来。
• 将扭曲锥构造应用于紧致度量空间上的作用，包括流形与投影完备化，以推导度量不变量。
• 运用中国剩余定理与丢番图逼近技术，构造出不可数多个非共轭作用，其产生的扭曲锥彼此拟等距。
• 通过双李普希茨等价与度量缩放论证，比较环面与球面上的扭曲度量，建立某些扭曲锥之间的拟等距关系。
• 借助几何群论中的结果，包括粗嵌入性与渐近维数理论，推导出定量界。

实验结果

研究问题

• RQ1 扭曲锥之间的拟等距是否蕴含作用群之间的拟等距？
• RQ2 群的几何性质（如渐近维数、性质A、粗嵌入性）能否通过其扭曲锥的分片性质来刻画？
• RQ3 群作用上扭曲锥的精确渐近维数是什么？它与群的渐近维数及空间的拓扑维数有何关系？
• RQ4 扭曲锥的拟等距是否蕴含作用群的共轭或同构？
• RQ5 一个作用的动态渐近维数（可约维数）能否用群的渐近维数与空间的拓扑维数来界定？

主要发现

• 扭曲锥的拟等距并不蕴含作用群的拟等距；即使对于不同秩格在环面上的自由作用，也存在反例。
• 若扭曲锥具有有限渐近维数，则其渐近维数 $\operatorname{asdim} \Gamma \times \mathbb{Z}^m$，其中 $m$ 为 $Y$ 的拓扑维数。
• 对于作用在紧致可度量化空间上的几乎幂零群，有 $\operatorname{eq-asdim}(\Gamma\curvearrowright Y) \leq \operatorname{asdim} \Gamma + \dim Y$，改进了先前的界。
• 存在不可数多个 $\mathbb{Z}^d$ 在 $\mathbb{T}^1$ 或 $\mathbb{T}^2$ 上的非共轭作用，其产生的扭曲锥彼此拟等距，甚至包括与所有半径球面拟等距的构造。
• 平凡作用下 $\mathbb{Z}^d$ 的扭曲锥与任意 $d \in \mathbb{N}$ 的非平凡作用下 $\mathbb{Z}^d$ 的扭曲锥拟等距，展示了非刚性。
• 几何性质的分片版本（如分片性质A、分片粗嵌入性）与相应的群性质等价，从而可通过度量几何为群不变量提供新的刻画方式。