[论文解读] Warped Product Pointwise Semi-slant Submanifolds of Kaehler Manifolds

Bayram Şahin|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 22

一句话总结

本文引入了凯勒流形中的逐点半斜子流形，并建立了形如 $M_T \times_f M_\theta$ 的非平凡扭曲积逐点半斜子流形的存在性，其中 $M_T$ 为全纯子流形，$M_\theta$ 为恰当的逐点斜子流形。本文推导了第二基本形式的平方模的精确不等式，其表达式以扭曲函数为基准，等式成立时意味着子流形因子的极小性及特定几何性质。

ABSTRACT

It is known that there exist no warped product semi-slant submanifolds in Kaehler manifolds \cite{Sahin}. Recently, Chen and Garay studied pointwise-slant submanifolds of almost Hermitian manifolds in \cite{CG} and obtained many new results for such submanifolds. In this paper, we first introduce pointwise semi-slant submanifolds of Kaehler manifolds and then we show that there exists non-trivial warped product pointwise semi-slant submanifolds of Kaehler manifold by giving an example, contrary to the semi-slant case. We present a characterization theorem and establish an inequality for the squared norm of the second fundamental form in terms of the warping function for such warped product submanifolds in Kaehler manifolds. The equality case is also considered.

研究动机与目标

• 在凯勒流形中定义并表征逐点半斜子流形，作为CR-子流形与斜子流形的推广。
• 研究凯勒流形中形如 $M_T \times_f M_\theta$ 的扭曲积子流形的存在性，其中 $M_T$ 为全holomorphic子流形，$M_\theta$ 为逐点斜子流形。
• 建立此类扭曲积的第二基本形式平方模的精确不等式，其表达式以扭曲函数 $f$ 为基准。
• 确定在所推导不等式中等式成立的条件，从而表征子流形的几何性质。

提出的方法

• 通过将分布分解为全纯与逐点斜分量，定义逐点半斜子流形，其中斜角在每一点处可变。
• 为逐点斜分布使用适配的正交标架，涉及斜函数 $\theta$ 及通过 $T$ 和 $F$ 算子的投影。
• 应用扭曲积结构 $M_T \times_f M_\theta$，其中扭曲函数为 $f$，并利用Levi-Civita联络与复结构 $J$ 计算第二基本形式。
• 通过正交标架展开与几何恒等式，推导不等式 $\|h\|^2 \geq 2n(\csc^2\theta + \cot^2\theta)\|\nabla(\ln f)\|^2$。
• 通过分析等式成立的情形，证明：若 $D^\theta$ 上第二基本形式的法部分为零，则 $M_\theta$ 为全脐的，且 $M_T$ 为全测地的。
• 构造一个显式例子，以证明非平凡扭曲积逐点半斜子流形的存在性，与半斜情形下的不存在性形成对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在凯勒流形中，形如 $M_T \times_f M_\theta$ 的非平凡扭曲积逐点半斜子流形是否存在，其中 $M_T$ 为全纯子流形，$M_\theta$ 为逐点斜子流形？
• RQ2 此类扭曲积中，扭曲函数 $f$ 与第二基本形式会受到何种几何约束？
• RQ3 是否存在一个精确不等式，将第二基本形式的平方模与 $\ln f$ 的梯度及斜函数 $\theta$ 联系起来？
• RQ4 在所推导的不等式中，等式成立的条件是什么？这对其子流形 $M_T$ 与 $M_\theta$ 的几何性质有何含义？
• RQ5 逐点半斜子流形如何推广凯勒几何中的CR-扭曲积与半斜子流形？

主要发现

• 在凯勒流形中，非平凡扭曲积逐点半斜子流形 $M_T \times_f M_\theta$ 存在，这与半斜情形下的不存在性形成对比。
• 第二基本形式的平方模满足不等式 $\|h\|^2 \geq 2n(\csc^2\theta + \cot^2\theta)\|\nabla(\ln f)\|^2$，其中 $n = \dim M_\theta$。
• 当且仅当 $M_T$ 为全测地的且 $M_\theta$ 为全脐的时，不等式取等。
• 当等式成立时，整体子流形 $M = M_T \times_f M_\theta$ 在周围空间中为极小的。
• 文中构造的例子验证了此类扭曲积的存在性，从而证实了理论框架的有效性。
• 结果推广了CR-扭曲积，并表明逐点半斜子流形为在凯勒流形中研究扭曲积几何提供了一个更广泛的类。